《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

16.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若$a = 2,c = 2\sqrt{3},\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$且$b ＜ c$，则$b =$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$2\sqrt{2}$
　
C.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\sqrt{3}$

答案： C $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，得$4 = b^2 + 12 - 6b$，解得$b = 2$或4. 又$b ＜ c$，所以$b = 2$.

17.如图,平面内的两条相交直线$OP_{1}$和$OP_{2}$将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界).若$\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OP_{1}}+b\overrightarrow{OP_{2}}$，且点P落在第Ⅲ部分,则实数a,b满足　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
A.$a＞0,b＞0$　　　　　　　　　　　　　　B.$a＞0,b＜0$
　　
C.$a＜0,b＞0$　　　　　　　　　　　　　　D.$a＜0,b＜0$

答案： B $\because P$落在第Ⅲ部分，$\therefore\overrightarrow{OP}$在直线$OP_1$上的分向量与$\overrightarrow{OP_1}$同向，在直线$OP_2$上的分向量与$\overrightarrow{OP_2}$反向，$\therefore a ＞ 0$，$b ＜ 0$，故选B.

18.在△ABC中,点D在BC边上,且$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{AD}$可用基底$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$表示为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}$
　　
C.$\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$　　　　　　　　　　　　　　　D.$\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$

答案： C 因为$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，所以$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. 所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$.

19.如图正方体ABCD - $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,异面直线$A_{1}B$与$AD_{1}$所成角为　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
A.$30^{\circ}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$45^{\circ}$
　　
C.$60^{\circ}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$90^{\circ}$

答案： C 连接$BC_1$、$A_1C_1$(图略)，$\because BC_1// AD_1$，$\therefore$异面直线$A_1B$与$AD_1$所成的角即为直线$A_1B$与$BC_1$所成的角. 在$\triangle A_1BC_1$中，$A_1B = BC_1 = A_1C_1$，$\therefore\angle A_1BC = 60^{\circ}$. 故异面直线$A_1B$与$AD_1$所成角为$60^{\circ}$.