《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

20.如果α的终边过点(2sin 30°,-2cos 30°),那么sin α =　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{1}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.-$\frac{1}{2}$
　
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.-$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： D 依题意可知点$(2\sin30^{\circ},-2\cos30^{\circ})$，即$(1,-\sqrt{3})$，则$r=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}} = 2$，因此$\sin\alpha=\frac{y}{r}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

21.已知x＞0,y＞0,且$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$ = 1,若x + 2y＞m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　(　　　)
　　
A.(-∞,6)　　　　　　　　　　　　　　　B.(-∞,6]
　
C.(-∞,8]　　　　　　　　　　　　　　　D.(-∞,8)

答案： D $x + 2y=(x + 2y)\cdot(\frac{2}{x}+\frac{1}{y})=4+\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}\geqslant4 + 2\sqrt{4}=8$. 所以$x + 2y＞m$恒成立，只需$(x + 2y)_{\min}＞m$. 所以$m＜8$，故选D.

22.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.是互斥事件，不是对立事件　　　　　　B.是对立事件，不是互斥事件
　
C.既是互斥事件，也是对立事件　　　　　D.既不是互斥事件也不是对立事件

答案： C 由题知选$2$名学生去参加演讲比赛的选取结果如下：选$2$名男生参加比赛、选$2$名女生参加比赛、选$1$名男生和$1$名女生参加比赛，所以事件“至少有$1$名女生”与事件“全是男生”为互斥事件，且为对立事件，故选C.

23.已知向量a=(1,$\sqrt{3}$),b=(3,m).若向量a,b的夹角为$\frac{\pi}{6}$,则实数m =　　　　　　　　　(　　　)
　
A.2$\sqrt{3}$　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\sqrt{3}$
　
C.0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.-$\sqrt{3}$

答案： B 因为$\boldsymbol{a}=(1,\sqrt{3})$，$\boldsymbol{b}=(3,m)$. 所以$|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{9 + m^{2}}$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3+\sqrt{3}m$，又$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{6}$，所以$\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|}=\cos\frac{\pi}{6}$，即$\frac{3+\sqrt{3}m}{2\sqrt{9 + m^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\sqrt{3}+m=\sqrt{9 + m^{2}}$，解得$m=\sqrt{3}$.