《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

24.在四棱锥P - ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,平面PCD⊥平面ABCD,AB = BC = 2,PC = PD = CD = 4,则二面角P - AD - C的正切值为 （ ）
A.$\sqrt{6}$
B.2$\sqrt{6}$
C.2$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
由于平面 PCD⊥平面 ABCD，平面 PCD∩平面 ABCD = CD，PC = PD = CD = 4，如图，取 CD 的中点 O，连接 PO，OA，PO⊥DC，PO⊂平面 PCD，则 PO⊥平面 ABCD，又 AD⊂平面 ABCD，则 PO⊥AD. 由 AB//CD，AB⊥BC，AB = BC = 2，可得四边形 ABCO 为正方形，$\triangle ADO$ 为等腰直角三角形. 取 AD 的中点 E，连接 OE，PE，则 OE⊥AD，OE∩PO = O，可得 AD⊥平面 PEO，又 PE⊂平面 PEO，则 AD⊥PE，则 ∠PEO 即为二面角 P - AD - C 的平面角. 因为 PO = $2\sqrt{3}$，EO = $\sqrt{2}$，则 $\tan\angle PEO=\frac{PO}{EO}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$，故选 A.

25.“双11”促销活动中,某商场为了吸引顾客,搞好促销活动,采用“双色球”定折扣的方式促销,即:在红、黄的两个纸箱中分别装有大小完全相同的红、黄球各5个,每种颜色的5个球上标有1,2,3,4,5等5个数字,顾客结账时,先分别从红、黄的两个纸箱中各取一球,按两个球的数字之和为折扣打折,如1 + 2 = 3,就按3折付款,并规定取球后不再增加商品.按此规定,顾客享有6折及以下折扣的概率是 （ ）
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 因为共有 5×5 = 25（种）取法，两球数字之和小于等于 6 的有 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15（种）取法，所以 P = $\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$，故选 A.

26.袋中有红、黄两种颜色的球各一个,这两个球除颜色外完全相同,从中任取一个,有放回地抽取3次,记事件A表示“3次抽到的球全是红球”,事件B表示“3次抽到的球颜色全相同”,事件C表示“3次抽到的球颜色不全相同”,则下列结论正确的是 （ ）
A.事件A与事件B互斥
B.事件A与事件C互为对立事件
C.P(C)=$\frac{3}{4}$
D.P(A∪C)=$\frac{3}{4}$

答案： 对于 A，因为 3 次抽到的球全是红球是 3 次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件 A 与事件 B 不互斥，故 A 错误；对于 B，事件 A 与事件 C 不可能同时发生，是互斥事件，但还有可能 3 次抽到的球全是黄球，所以事件 A 与事件 C 不是对立事件，故 B 错误；对于 C，P（C） = 1 - $\frac{2}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，故 C 正确；对于 D，因为事件 A 与事件 C 互斥，P（A） = $\frac{1}{8}$，所以 P（A∪C） = P（A） + P（C） = $\frac{1}{8}+\frac{3}{4}=\frac{7}{8}$，故 D 错误，故选 C.