《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

25.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若csin A=$\sqrt{3}$acos C,c=3$\sqrt{3}$,ab=18,则a + b的值是 ( )
A.6$\sqrt{2}$
B.6$\sqrt{3}$
C.9
D.11

答案： C

∵c sin A = $\sqrt{3}$a cos C，
∴sin C sin A = $\sqrt{3}$sin A cos C，
∵sin A≠0，
∴tan C = $\sqrt{3}$.
∴0 ＜ C ＜ π，
∴C = $\frac{\pi}{3}$，根据余弦定理可得c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ - 2ab cos C = (a + b)$^{2}$ - 3ab，
∴(3$\sqrt{3}$)$^{2}$ = (a + b)$^{2}$ - 3×18，
∴a + b = 9. 故选C.

26.已知函数y=sin(ωx + φ)(ω＞0,|φ|＜$\frac{π}{2}$)的部分图象如图所示,则 ( )

A.ω=1,φ=$\frac{π}{6}$
B.ω=1,φ=-$\frac{π}{6}$
C.ω=2,φ=$\frac{π}{6}$
D.ω=2,φ=-$\frac{π}{6}$

答案： D 依题意得T = $\frac{2\pi}{\omega}$ = 4×($\frac{7\pi}{12}$ - $\frac{\pi}{3}$) = π，所以ω = 2. 又sin(2×$\frac{\pi}{3}$ + φ) = sin($\frac{2\pi}{3}$ + φ) = 1，所以$\frac{2\pi}{3}$ + φ = $\frac{\pi}{2}$ + 2kπ，k∈Z. 所以φ = - $\frac{\pi}{6}$ + 2kπ，k∈Z，由|φ| ＜ $\frac{\pi}{2}$，得φ = - $\frac{\pi}{6}$. 故选D.

27.如图所示,在正三棱柱ABC - A1B1C1中,若AB=$\sqrt{2}$BB1,则异面直线AB1与BC1所成的角的大小是 ( )

A.60°
B.75°
C.90°
D.105°

答案：
C 设BB$_{1}$ = 1，如图，延长CC$_{1}$至点C$_{2}$，使C$_{1}$C$_{2}$ = CC$_{1}$ = 1，连接B$_{1}$C$_{2}$，则B$_{1}$C$_{2}$//BC$_{1}$，所以∠AB$_{1}$C$_{2}$(或其补角)为异面直线AB$_{1}$与BC$_{1}$所成的角. 连接AC$_{2}$，易知AB$_{1}$ = $\sqrt{3}$，B$_{1}$C$_{2}$ = $\sqrt{3}$，AC$_{2}$ = $\sqrt{6}$，所以AC$_{2}^{2}$ = AB$_{1}^{2}$ + B$_{1}$C$_{2}^{2}$，则∠AB$_{1}$C$_{2}$ = 90°，即异面直线AB$_{1}$与BC$_{1}$所成的角的大小为90°.

阅读下面的材料完成28～30小题.
将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图.

28.该班模拟考试中,成绩在[100,120)的人数为 ( )
A.9
B.18
C.27
D.30
29.该班模拟考试中及格率(90及以上为及格)估计值为 ( )
A.90%
B.65%
C.75%
D.80%
30.该班模拟考试中,80%分位数为 ( )
A.123.44
B.124.44
C.125
D.126.44

答案： C 成绩在[100，110)的人数为60×0.015×10 = 9(人).成绩在[110，120)的人数为60×0.03×10 = 18(人).所以，成绩在[100，120)的人数为9 + 18 = 27(人).
@@A 成绩在[80，90)的频率为0.01×10 = 0.1.所以估计及格率为1 - 0.1 = 0.9 = 90％.
@@B 由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01 + 0.015 + 0.015 + 0.03)×10×100％ = 70％，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01 + 0.015 + 0.015 + 0.03 + 0.022 5)×10×100％ = 92.5％，因此80％分位数一定位于[120，130)内. 因为120 + $\frac{0.80 - 0.70}{0.925 - 0.70}$×10≈124.44，所以此班的模拟考试成绩的80％分位数约为124.44.

根据下面的题设,完成31～33小题.
《九章算术·商功》记载了一个古代数学名词“堑堵”.即两底面为直角三角形的直棱柱,即长方体的斜截平分体.如图所示,堑堵(即直三棱柱)ABC - DEF中,AB⊥AC,AB = AC = 2,AD = 4,G是FC的中点.


31.直线BE与AG的夹角为 ( )
A.$\frac{π}{6}$
B.$\frac{π}{3}$
C.$\frac{π}{4}$
D.$\frac{π}{2}$
32.△AGE的形状为 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
33.点D到平面AGE的距离为 ( )
A.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
D.$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

答案： C

∵BE//CG，
∴∠AGC即为BE与AG所成的角(或其补角)，
∵G为CF的中点，CF = AD = 4，AC = 2，
∴AC = CG，又CF⊥平面ABC，
∴∠AGC = $\frac{\pi}{4}$.
@@B 依题意可知，AG = 2$\sqrt{2}$，EG = 2$\sqrt{3}$，EA = 2$\sqrt{5}$，
∴AG$^{2}$ + EG$^{2}$ = EA$^{2}$，
∴AG⊥GE，
∴△AGE为直角三角形.
@@D 设点D到平面AGE的距离为h，则由V$_{D - AGE}$ = V$_{E - ADG}$可知$\frac{1}{3}$h×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{3}$ = $\frac{1}{3}$×2×$\frac{1}{2}$×2×4，则h = $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.