《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

25.已知函数f(x)=2x,则f(1 - x)的图象为图中的 (　　　)
　　　　　　　　　　　

答案： C $f(1 - x)=2^{1 - x}=2\cdot2^{-x}=2\cdot(\frac{1}{2})^{x}=(\frac{1}{2})^{x - 1}$，则相当于把函数 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的图象向右平移 1 个单位长度而得，故选 C.

26.在△ABC中,AB = 2,AC = 3,B = 60°,则cos C = (　　　)
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　　　　　　　　　　
　B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　
　D.$\frac{\sqrt{6}}{2}$

答案： B 由正弦定理，得 $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$，即 $\frac{2}{\sin C}=\frac{3}{\sin60^{\circ}}$，解得 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{3}$. 因为 $AB＜AC$，所以 $C＜B$，所以 $\cos C=\sqrt{1-\sin^{2}C}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

27.在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,已知B₁D与平面ABCD和平面AA₁B₁B所成的角均为30°,则 (　　　)
A.AB = 2AD
B.AB与平面AB₁C₁D所成的角为30°
C.AC = CB₁
D.B₁D与平面BB₁C₁C所成的角为45°

答案：
D 如图，连接 $BD$，易知 $\angle BDB_{1}$ 是直线 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角，所以在 $\text{Rt}\triangle BDB_{1}$ 中，$\angle BDB_{1}=30^{\circ}$，设 $BB_{1}=1$，则 $B_{1}D = 2BB_{1}=2$，$BD=\sqrt{B_{1}D^{2}-BB_{1}^{2}}=\sqrt{3}$. 易知 $\angle AB_{1}D$ 是直线 $B_{1}D$ 与平面 $AA_{1}B_{1}B$ 所成的角，所以在 $\text{Rt}\triangle ADB_{1}$ 中，$\angle AB_{1}D = 30^{\circ}$，因为 $B_{1}D = 2$，所以 $AD=\frac{1}{2}B_{1}D = 1$，$AB_{1}=\sqrt{B_{1}D^{2}-AD^{2}}=\sqrt{3}$，所以在 $\text{Rt}\triangle ABB_{1}$ 中，$AB=\sqrt{AB_{1}^{2}-BB_{1}^{2}}=\sqrt{2}$，所以 A 项错误. 易知 $\angle BAB_{1}$ 是直线 $AB$ 与平面 $AB_{1}C_{1}D$ 所成的角，所以在 $\text{Rt}\triangle ABB_{1}$ 中，$\sin\angle BAB_{1}=\frac{BB_{1}}{AB_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\neq\frac{1}{2}$，所以 $\angle BAB_{1}\neq30^{\circ}$，所以 B 项错误. 在 $\text{Rt}\triangle CBB_{1}$ 中，$CB_{1}=\sqrt{BC^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{2}$，而 $AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3}$，所以 C 项错误. 易知 $\angle DB_{1}C$ 是直线 $B_{1}D$ 与平面 $BB_{1}C_{1}C$ 所成的角，因为在 $\text{Rt}\triangle DB_{1}C$ 中，$CB_{1}=CD=\sqrt{2}$，所以 $\angle DB_{1}C = 45^{\circ}$，所以 D 项正确. 故选 D.