《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

21.我们通常所说的A,B,O血型系统是由A,B,O三个等位基因决定的,每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成,且两个等位基因分别来自于父亲和母亲,其中AA,AO为A型血,BB,BO为B型血,AB为AB型血,OO为O型血.比如:父亲和母亲的基因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等可能的出现AA,AB,AO,BO四种结果,已知小明的父亲和母亲血型均为AB型,不考虑基因突变,则小明是B型血的概率为 ( )
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{16}$

答案： B 由题意知小明的血型可能是AA，AB，BB，其中AB型包括A来自父亲B来自母亲和A来自母亲B来自父亲两种情况，所以小明是B型血的概率为$\frac{1}{4}$，故选B.

22.在△ABC中,“A=$\frac{π}{6}$”是“sin A=$\frac{1}{2}$”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A 因为A = $\frac{\pi}{6}$⇒sin A = $\frac{1}{2}$，但sin A = $\frac{1}{2}$⇒A = $\frac{\pi}{6}$ + 2kπ或$\frac{5\pi}{6}$ + 2kπ(k∈Z)，所以“A = $\frac{\pi}{6}$”是“sin A = $\frac{1}{2}$”的充分不必要条件，故选A.

23.已知sin(α + 60°)=$\frac{4}{5}$,30°＜α＜120°,则cos α= ( )
A.$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$
B.-$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$
C.$\frac{4 - 3\sqrt{3}}{10}$
D.-$\frac{4 + 3\sqrt{3}}{10}$

答案： A 由30° ＜ α ＜ 120°，得90° ＜ α + 60° ＜ 180°. 又sin(α + 60°) = $\frac{4}{5}$，所以cos(α + 60°) = - $\frac{3}{5}$，所以cos α = cos[(α + 60°) - 60°] = cos(α + 60°)·cos 60° + sin(α + 60°)sin 60° = - $\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$ + $\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{4\sqrt{3} - 3}{10}$，故选A.

24.若样本x1,x2,x3,…,xn的平均数为10,方差为20,则样本2x1 - 5,2x2 - 5,2x3 - 5,…,2xn - 5的平均数和方差分别为 ( )
A.平均数为20,方差为35
B.平均数为20,方差为40
C.平均数为15,方差为75
D.平均数为15,方差为80

答案： D 因为样本x$_{1}$，x$_{2}$，x$_{3}$，…，x$_{n}$的平均数为10，方差为20，所以$\frac{1}{n}$(x$_{1}$ + x$_{2}$ + x$_{3}$ + … + x$_{n}$) = 10，$\frac{1}{n}$[(x$_{1}$ - 10)$^{2}$ + (x$_{2}$ - 10)$^{2}$ + … + (x$_{n}$ - 10)$^{2}$] = 20，所以2x$_{1}$ - 5，2x$_{2}$ - 5，2x$_{3}$ - 5，…，2x$_{n}$ - 5的平均数为$\frac{1}{n}$(2x$_{1}$ - 5 + 2x$_{2}$ - 5 + 2x$_{3}$ - 5 + … + 2x$_{n}$ - 5) = $\frac{2}{n}$(x$_{1}$ + x$_{2}$ + x$_{3}$ + … + x$_{n}$) + $\frac{1}{n}$·( - 5n) = 2×10 - 5 = 15，2x$_{1}$ - 5，2x$_{2}$ - 5，2x$_{3}$ - 5，…，2x$_{n}$ - 5的方差为$\frac{1}{n}$[(2x$_{1}$ - 5 - 15)$^{2}$ + (2x$_{2}$ - 5 - 15)$^{2}$ + … + (2x$_{n}$ - 5 - 15)$^{2}$] = $\frac{4}{n}$[(x$_{1}$ - 10)$^{2}$ + (x$_{2}$ - 10)$^{2}$ + + (x$_{n}$ - 10)$^{2}$] = 4×20 = 80，故选D.