《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

阅读下面的材料,完成28～30小题.
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰.比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.
经抽签甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为$\frac{1}{2}$.
28.甲连胜四场的概率是( )
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $\frac{1}{16}$
D. $\frac{1}{32}$
29.需要进行第五场比赛的概率是( )
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{3}{8}$
30.丙最终获胜的概率是( )
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{5}{16}$
D. $\frac{7}{16}$

答案： 由题意，知甲连胜四场只能是前四场全胜，$P = (\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{16}$，故选C.
@@根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行5场比赛，比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜4场的概率为$\frac{1}{16}$；乙连胜4场的概率为$\frac{1}{16}$；丙上场后连胜3场的概率为$\frac{1}{8}$，所以需要进行第5场比赛的概率为$1-\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$，故选C.
@@丙最终获胜有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为$\frac{1}{8}$，比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有3种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，因此丙最终获胜的概率为$\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{16}$，故选D.

根据下面的题设,完成31～33小题.
函数$f(x)=x^{2}+bx + c$的两个零点为2,3.
31.函数$f(x)$的解析式为( )
A. $f(x)=x^{2}+5x - 6$
B. $f(x)=x^{2}-5x - 6$
C. $f(x)=x^{2}-5x + 6$
D. $f(x)=x^{2}+5x + 6$
32.若方程$f(x)+m = 0$有两个相等的实数根,则$m$的值为( )
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
33.若函数$g(x)=f(x)+mx$的两个零点分别在区间$(1,2),(2,4)$内,则$m$的取值范围为( )
A. $(-\frac{1}{2},0)$
B. $(0,\frac{1}{2})$
C. $(-\infty,-\frac{1}{2})$
D. $(-\frac{1}{2},+\infty)$

答案： C $\because2$，3为方程$x^{2}+bx + c = 0$的两根，$\therefore\begin{cases}-b=2 + 3\\c=2\times3\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}b=-5\\c=6\end{cases}$.$\therefore f(x)=x^{2}-5x + 6$.
@@A 由31题知，$f(x)=x^{2}-5x + 6$.$\therefore x^{2}-5x + 6 + m = 0$有两个相等的实数根.$\therefore\Delta=25-4(6 + m)=0$，解得$m=\frac{1}{4}$，故选A.
@@A 由31题知$f(x)=x^{2}-5x + 6$.$\therefore g(x)=x^{2}+(m - 5)x + 6$，依题意$\begin{cases}g(1)＞0\\g(2)＜0\\g(4)＞0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2}＜m＜0$，故实数$m$的取值范围是$(-\frac{1}{2},0)$.