《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

20.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与$\log_{3}\frac{Q}{100}$成正比.当$v = 1$m/s时,鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当$v = 2$m/s时,其耗氧量的单位数为　　　　　　　(　　　)
　　
A.1800　　　　　　　　　　　　　　　　B.2700
　　
C.7290　　　　　　　　　　　　　　　　D.8100

答案： D 由题意，设$v = k\log_3\frac{Q}{100}(k ＞ 0)$，当$v = 1\ \text{m/s}$时，$Q = 900$，即$1 = k\log_3\frac{900}{100}=2k$，所以$k = \frac{1}{2}$，所以当$v = 2\ \text{m/s}$时，$2 = \frac{1}{2}\log_3\frac{Q}{100}$，解得$Q = 8100$，故选D.

21.已知m,n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.若$m//\alpha,n//\alpha$，则$m// n$
　
B.若$m\perp\alpha,n\subset\alpha$，则$m\perp n$
　
C.若$m\perp\alpha,n//\alpha$，则$m// n$
　
D.若$m//\alpha,m\perp n$，则$n\perp\alpha$

答案： B 由题可知，若$m//\alpha$，$n//\alpha$，则$m$与$n$平行、相交或异面，故A错误；若$m\perp\alpha$，$n\subset\alpha$，则$m\perp n$，故B正确；若$m\perp\alpha$，$n//\alpha$，则$m\perp n$，故C错误；若$m//\alpha$，$m\perp n$，则$n//\alpha$或$n\perp\alpha$或$n$与$\alpha$相交或$n\subset\alpha$. 故D错误.

22.甲、乙两人独立地解决某个数学难题,甲解决出该难题的概率为0.4,乙解决出该难题的概率为0.5,则该难题被解决出的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.0.9　　　　　　　　　　　　　　　　　B.0.8
　
C.0.7　　　　　　　　　　　　　　　　　D.0.2

答案： C 由题意知，该难题没被解出的概率$p=(1 - 0.4)\cdot(1 - 0.5)=0.3$，故该难题被解决出的概率为$1 - p = 0.7$，故选C.

23.若$\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=3\cos(\alpha-\pi)$，则$\cos2\alpha =$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.-1　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{7}{9}$
　
C.0或$\frac{7}{9}$　　　　　　　　　　　　　　　　D.-1或$-\frac{7}{9}$

答案： D 由题意可得$\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=-3\cos\alpha$，则$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=-3\cos\alpha$，解得$\cos\alpha = 0$或$\sin\alpha = -\frac{1}{3}$，则$\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = - 1$或$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha=\frac{7}{9}$，故选D.

24.定义在R上的函数$f(x)$满足$f(x + y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y\in\mathbf{R})$，$f(1)=2$，则$f(-3)$
　等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.3
　
C.6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.9

答案： C 令$y = 1$，则$f(x + 1)=f(x)+f(1)+2x$，即$f(x + 1)-f(x)=2(x + 1)$，$\therefore f(1)=f(0)+2=f(-1)+0 + 2=f(-2)-2 + 0 + 2=f(-3)-4 - 2 + 0 + 2$，$\therefore f(-3)=f(1)+4 = 6$，故选C.