《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

13.设m,n为正数,且m + n = 2,则$\frac{4}{m + 1}$ + $\frac{1}{n + 1}$的最小值为（ ）
A.$\frac{13}{4}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{7}{4}$
D.$\frac{9}{5}$

答案：
∵m + n = 2，
∴(m + 1)+(n + 1)=4，
∴$\frac{4}{m + 1}$+$\frac{1}{n + 1}$=($\frac{4}{m + 1}$+$\frac{1}{n + 1}$)·[(m + 1)+(n + 1)]×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{4(n + 1)}{m + 1}$+$\frac{m + 1}{n + 1}$]≥$\frac{1}{4}$(5+2$\sqrt{\frac{4(n + 1)}{m + 1}·\frac{m + 1}{n + 1}}$)=$\frac{9}{4}$，当且仅当$\frac{m + 1}{n + 1}$=$\frac{4(n + 1)}{m + 1}$且m + n = 2，即m = $\frac{5}{3}$，n = $\frac{1}{3}$时取等号，故选B.

14.设f(x)=$\begin{cases}x - 2, & x\geq10 \\ f(x + 6), & x＜10\end{cases}$,则f(5)的值为（ ）
A.10
B.9
C.12
D.13

答案： 由题意，得f
(5)=f(5 + 6)=f
(11)=11 - 2=9，故选B.

15.为了得到函数y=sin(3x - $\frac{π}{6}$)的图象,需将函数y=sin(x - $\frac{π}{6}$)的图象（ ）
A.纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变
B.横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变
C.横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$,纵坐标不变
D.纵坐标变为原来的$\frac{1}{3}$,横坐标不变

答案： 只需将函数y=sin(x - $\frac{π}{6}$)的图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$，纵坐标不变，便得到函数y=sin(3x - $\frac{π}{6}$)的图象.故选C.

16.已知角$\frac{π}{3}$的终边上有一点P(1,a),则a的值是（ ）
A.-$\sqrt{3}$
B.±$\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 由P点坐标可得tan $\frac{π}{3}$=$\frac{a}{1}$=$\sqrt{3}$，
∴a = $\sqrt{3}$，故选D.

17.函数f(x)在R上是减函数,则有（ ）
A.f(3)＜f(5)
B.f(3)≤f(5)
C.f(3)＞f(5)
D.f(3)≥f(5)

答案： 因为函数f(x)在R上是减函数，3＜5，所以f
(3)＞f
(5).故选C.

18.命题“∀x∈R,2kx²+kx - $\frac{3}{8}$＜0”是真命题,则实数k的取值范围是（ ）
A.(-3,0)
B.(-3,0]
C.[0,3)
D.(-∞,-3)∪[0,+∞)

答案： 当k = 0时，不等式可化为 - $\frac{3}{8}$＜0恒成立；当k＜0时，若不等式恒成立，则Δ=k² - 4·2k·( - $\frac{3}{8}$)＜0，即k² + 3k＜0，所以 - 3＜k＜0；当k＞0时，不等式不恒成立.综上，k的取值范围是( - 3,0]，故选B.