《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

根据下面的题设，完成34~36小题.
　　在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),|OC| = 1,且∠AOC = θ,其中O为坐标原点.
　　　　　　　　　　　　　　　　
34.$\overrightarrow{AB}$的长度为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.2
　　
C.$\sqrt{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\sqrt{3}$
35.若θ = $\frac{3π}{4}$,设点D为线段OA上的动点,|$\overrightarrow{OC}$ + $\overrightarrow{OD}$|的最小值为　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
　　
C.$\frac{1}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　D.2
36.若θ∈[0,$\frac{π}{2}$],向量$\overrightarrow{m}$ = $\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{n}$ = (1 - cosθ,sinθ - 2cosθ),则$\overrightarrow{m}$·$\overrightarrow{n}$的最小值为　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{1}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　B.1
　　
C.1 - $\sqrt{2}$　　　　　　　　　　　　　　　D.1 - $\sqrt{3}$

答案： 34.B
∵A(1,0),B(- 1,0).
∴$\overrightarrow{AB}$ = (- 2,0),
∴|$\overrightarrow{AB}$| = $\sqrt{(-2)² + 0²}$ = 2.
@@35.A 设D(t,0)(0≤t≤1),由题意知C(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),所以$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ = (-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ + t,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),所以|$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$|² = (t - $\frac{\sqrt{2}}{2}$)²+$\frac{1}{2}$,所以当t = $\frac{\sqrt{2}}{2}$时,|$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$|最小,最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
@@36.C 由题意得C(cos θ,sin θ),m = $\overrightarrow{BC}$ = (cos θ + 1,sin θ),则m·n = 1 - cos²θ + sin²θ - 2sin θcos θ= 1 - cos 2θ - sin 2θ= 1 - $\sqrt{2}$sin(2θ+$\frac{\pi}{4}$),因为θ∈[0,$\frac{\pi}{2}$],所以$\frac{\pi}{4}$≤2θ+$\frac{\pi}{4}$≤$\frac{5\pi}{4}$,所以当2θ+$\frac{\pi}{4}$ = $\frac{\pi}{2}$,即θ = $\frac{\pi}{8}$时,sin(2θ+$\frac{\pi}{4}$)取得最大值1.所以m·n的最小值为1 - $\sqrt{2}$.