《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

10.tan(-$\frac{35}{6}\pi$)的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
　　
C.$\frac{1}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\sqrt{3}$

答案： A $\tan(-\frac{35}{6}\pi)=\tan(-3\times2\pi+\frac{\pi}{6})=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

11.已知log₃2 = a,3ᵇ = 5,则log₁₅$\sqrt{30}$用a,b表示为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{1 + a + b}{1 + b}$　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{1 + a + b}{2(1 + b)}$
　　
C.$\frac{a + b}{1 + b}$　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\frac{a + b}{2(1 + b)}$

答案： B 因为$\log_{3}2 = a$，$3^{b}=5$，所以$b=\log_{3}5$，所以$\log_{15}\sqrt{30}=\frac{\log_{3}\sqrt{30}}{\log_{3}15}=\frac{\frac{1}{2}\log_{3}30}{\log_{3}3+\log_{3}5}=\frac{\frac{1}{2}(\log_{3}3+\log_{3}2+\log_{3}5)}{1+\log_{3}5}=\frac{\frac{1}{2}(1 + a + b)}{1 + b}=\frac{1 + a + b}{2(1 + b)}$，故选B.

12.已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为$\frac{\pi}{4}$,则这条弧所在的扇形的面积为　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{\pi}{2}$ cm²　　　　　　　　　　　　　　　　B.π cm²
　
C.2π cm²　　　　　　　　　　　　　　　　D.4π cm²

答案： C $\because$弧长为$\pi\ \text{cm}$的弧所对的圆心角为$\frac{\pi}{4}$，$\therefore$圆的半径$r=\frac{\pi}{\frac{\pi}{4}} = 4(\text{cm})$，$\therefore$这条弧所在的扇形的面积$S=\frac{1}{2}\times\pi\times4 = 2\pi(\text{cm}^{2})$. 故选C.

13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.A = 30°,B = 45°,c = 5　　　　　　　　　B.a = 4,b = 5,C = 60°
　
C.a = 8,b = 8$\sqrt{2}$,B = 45°　　　　　　　　D.a = 6,b = 8,A = 30°

答案： D 对于A，由条件，得$C = 105^{\circ}$，则由正弦定理，得$a=\frac{c\sin A}{\sin C}$，$b=\frac{c\sin B}{\sin C}$，显然只有一解；对于B，由余弦定理可得$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$，显然只有一解；对于C，由正弦定理，得$\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{1}{2}$. 又$a＜b$，所以$A＜B$，所以只有一解；对于D，由正弦定理，得$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{2}{3}＞\frac{1}{2}$. 又$a＜b$，所以$A＜B$，所以角$B$有两解，故选D.

14.在边长为4的菱形ABCD中,∠A = 60°.点P在菱形ABCD所在的平面上.若PA = 3,PC = $\sqrt{21}$,则$\overrightarrow{PB}$·$\overrightarrow{PD}$=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.-2　　　　　　　　　　　　　　　　　B.-1
　
C.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.2

答案： B 以$AC$中点为坐标原点$O$，$\overrightarrow{OC}$方向为$x$轴正方向，$\overrightarrow{OD}$方向为$y$轴正方向建立平面直角坐标系，则$A(-2\sqrt{3},0)$，$C(2\sqrt{3},0)$，$B(0,-2)$，$D(0,2)$. 设$P(x,y)$，因为$PA = 3$，$PC=\sqrt{21}$，所以$\begin{cases}(x + 2\sqrt{3})^{2}+y^{2}=9,\\(x - 2\sqrt{3})^{2}+y^{2}=21,\end{cases}$解得$P(-\frac{\sqrt{3}}{2},\pm\frac{3}{2})$，取$P(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2})$，所以$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{7}{2}=\frac{3}{4}-\frac{7}{4}=-1$，故选B.

15.已知函数y = f(x)是定义在R上的增函数,且f(1 - a)＜f(a - 3),则a的取值范围是(　　　)
　
A.(2,+∞)　　　　　　　　　　　　　　　B.(2,3)
　
C.(1,2)　　　　　　　　　　　　　　　　D.(1,3)

答案： A 因为函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的增函数，且$f(1 - a)＜f(a - 3)$，则$1 - a＜a - 3$，解得$a＞2$，所以实数$a$的取值范围为$(2,+\infty)$，故选A.