《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

25.在平行四边形ABCD中,对角线$AC=\sqrt{65},BD=\sqrt{17}$，周长为18,则这个平行四边形的面积
　等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.16　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{35}{2}$
　
C.18　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.32

答案： A 设$AB = CD = a$，$AD = BC = b$，则$\begin{cases}2(a + b)=18\\65 + 17 = 2(a^2 + b^2)\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 4\\b = 5\end{cases}$或$\begin{cases}a = 5\\b = 4\end{cases}$. 所以$\cos\angle BAD=\frac{5^2 + 4^2 - 17}{2\times5\times4}=\frac{3}{5}$，所以$\sin\angle BAD=\frac{4}{5}$，$S = 4\times5\times\frac{4}{5}=16$.

26.已知定义在R上的函数$f(x)$是奇函数且是增函数,若$f(1)=1$，则不等式$|f(x)|＜1$的解
　　集为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.(-1,1)　　　　　　　　　　　　　　　B.(-1,0)
　　
C.(0,1)　　　　　　　　　　　　　　　　D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

答案： A 由$|f(x)| ＜ 1$得$-1 ＜ f(x) ＜ 1$，因为$f(x)$是奇函数且是增函数，$f(1)=1$，所以$f(-1)=-f(1)=-1$，则不等式等价为$f(-1) ＜ f(x) ＜ f(1)$，所以$-1 ＜ x ＜ 1$，即不等式的解集为$(-1,1)$.

27.函数$f(x)=A\cos(\omega x+\varphi)(A＞0,\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$的部分图象如图所示,且$f(\frac{\pi}{2})=-1$，现将
　　f(x)的图象向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位长度,得到函数$y = g(x)$的图象,则$g(x)$在区间$[\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]$上的
　　值域是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
　　
A.$[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}]$　　　　　　　　　　　　　　　B.$[1,\sqrt{2}]$
　　C.$[-\frac{\sqrt{2}}{2},1]$　　　　　　　　　　　　　　D.$[-\sqrt{2},1]$

答案： D 根据函数$f(x)=A\cos(\omega x+\varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2})$的部分图象，可得$\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{\omega}=\frac{11\pi}{12}-\frac{7\pi}{12}$，解得$\omega = 3$. 又因为$(\frac{7\pi}{12},0)$是函数$f(x)$的一个上升零点，所以$3\times\frac{7\pi}{12}+\varphi=\frac{3\pi}{2}$，$|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2}$，解得$\varphi = -\frac{\pi}{4}$，则$f(x)=A\cos(3x-\frac{\pi}{4})$. 由$f(\frac{\pi}{2})=A\cos(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}A=-1$，解得$A = \sqrt{2}$，故$f(x)=\sqrt{2}\cos(3x-\frac{\pi}{4})$. 将$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位长度，得到函数$y = g(x)=\sqrt{2}\cos(3x+\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}\sin3x$的图象. 当$x\in[\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]$时，$3x\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$，$\sin3x\in[-\frac{\sqrt{2}}{2},1]$，所以$g(x)\in[-\sqrt{2},1]$，故选D.