《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

阅读下面的材料，完成28~30小题.
　　2023年10月,全国各中小学全体学生都参与了《禁毒知识》的答题竞赛,现从某校高一年级参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(单位:分)整理后,得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50),[50,60),...[90,100]).
频率
28.这次考试成绩在[70,80)的频率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.0.15　　　　　　　　　　　　　　　　　B.0.25
　
C.0.35　　　　　　　　　　　　　　　　　D.0.45
29.这次考试成绩的中位数的估计值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.71　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.72
　
C.73　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.74
30.若从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人,则他们的成绩在同一分组区间的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.0.1　　　　　　　　　　　　　　　　　B.0.2
　
C.0.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.0.4

答案： B 第四小组的频率$=1-(0.005 + 0.015 + 0.020 + 0.030 + 0.005)\times10 = 0.25$，故选B.
@@D 第一组$[40,50)$的频率为$0.05$，第二组$[50,60)$的频率为$0.15$，第三组$[60,70)$的频率为$0.2$，第四组$[70,80)$的频率为$0.25$，前三组的频率之和为$0.4$，前四组的频率之和为$0.65$，所以中位数落在第四组，设中位数为$70 + x$，则有$0.05 + 0.15 + 0.2+x\cdot0.025 = 0.5$，$\therefore x = 4$，所以这次考试成绩的中位数的估计值为$74$，故选D.
@@D 由题意可知，成绩在$[40,50)$的人数为$60\times0.05 = 3$，记他们分别为$a$，$b$，$c$，成绩在$[90,100]$的人数为$60\times0.05 = 3$，记他们分别为$A$，$B$，$C$，则从成绩在$[40,50)$和$[90,100]$的学生中任选两人的结果分别是：$(A,B)$，$(A,C)$，$(A,a)$，$(A,b)$，$(A,c)$，$(B,C)$，$(B,a)$，$(B,b)$，$(B,c)$，$(C,a)$，$(C,b)$，$(C,c)$，$(a,c)$，$(b,c)$，$(a,b)$共15种，事件他们的成绩在同一分组区间的结果是$(A,B)$，$(A,C)$，$(B,C)$，$(a,c)$，$(b,c)$，$(a,b)$，共6种，所以所求事件的概率为$P=\frac{6}{15}=0.4$，故选D.

根据下面的题设，完成31~33小题.
　　如图,在四棱锥P - ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,$AB\perp BC$,$AD// BC$,$AD = 3$,$PA = BC = 2AB = 2$,$PB=\sqrt{3}$
　　　　　　　　　　　　　　
31.下列结论不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.$PB\perp AB$　　　　　　　　　　　　　　　B.$BC//$平面PAD
　
C.平面ADP⊥平面ABP　　　　　　　　D.$CD//$平面PAB
32.PD与平面PAB所成角的余弦值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.$\frac{2\sqrt{3}}{13}$　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{\sqrt{3}}{13}$
　
C.$\frac{\sqrt{13}}{13}$　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
33.若点E在棱PA上,且$BE//$平面PCD,则$\frac{PE}{PA}$的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{1}{4}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{1}{3}$
　　
C.$\frac{2}{3}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\frac{1}{2}$

答案：
D $\because PB=\sqrt{3}$，$AB = 1$，$PA = 2$，$\therefore PB^2 + AB^2 = PA^2$，$\therefore PB\perp AB$，A正确；$\because AD// BC$，$AD\subset$平面$PAD$，$BC\not\subset$平面$PAD$，$\therefore BC//$平面$PAD$，B正确；$\because AB\perp BC$，$AD// BC$，$\therefore AD\perp AB$，$\because$平面$PAB\perp$平面$ABCD$，交线为$AB$，$\therefore AD\perp$平面$PAB$，又$\because AD\subset$平面$ADP$，$\therefore$平面$ADP\perp$平面$ABP$，C正确；$\because DC$的延长线与$AB$相交，$ABC$平面$PAB$，所以$CD$与平面$PAB$不平行，D错误。
@@D 由31题知$AD\perp$平面$PAB$，所以$\angle APD$即为$PD$与平面$PAB$所成角，由勾股定理得$PD=\sqrt{PA^2 + AD^2}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$，所以$\cos\angle APD=\frac{AP}{DP}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，故选D.
@@C 过点$E$作$EF// AD$交$PD$于点$F$，连接$CF$. $\because BE//$平面$PCD$，$BE\subset$平面$BCFE$，平面$BCFE\cap$平面$PCD = CF$，$\therefore BE// CF$. $\because AD// BC$，$\therefore EF// BC$，$\therefore$四边形$BCFE$是平行四边形，$\therefore BC = EF = 2$，$\therefore\frac{PE}{PA}=\frac{EF}{AD}=\frac{2}{3}$，故选C.