《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

27.已知函数f(x)=(x + 3)(x - e)+(x - e)(x - π)+(x - π)(x + 3)的零点为x₁,x₂(x₁＜x₂),则
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.x₁x₂＞0　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{x_{1}}{x_{2}}$＜ - $\frac{3}{e}$
　
C.x₂ - x₁＜e　　　　　　　　　　　　　　D.x₁ + x₂＜π

答案： D 由题意得$f(x)=3x^{2}+(6 - 2\text{e}-2\pi)x+\pi\text{e}-3\pi-3\text{e}$，其图象的对称轴为$x=\frac{\text{e}+\pi}{3}-1$，所以函数$f(x)$在$(\frac{\text{e}+\pi}{3}-1,+\infty)$上单调递增，在$(-\infty,\frac{\text{e}+\pi}{3}-1)$上单调递减，又$f(-3)=(3+\text{e})(3+\pi)＞0$，$f(0)=-3\text{e}-(3 - \text{e})\pi＜0$，$f(\text{e})=(\text{e}-\pi)(\text{e}+3)＜0$，$f(\pi)=(\pi+3)(\pi-\text{e})＞0$，所以$f(-3)f(0)＜0$，$f(\text{e})f(\pi)＜0$，所以$-3＜x_{1}＜0$，$\text{e}＜x_{2}＜\pi$，所以$x_{1}x_{2}＜0$，故选项A错误；$-\frac{3}{\text{e}}＜\frac{x_{1}}{\text{e}}＜\frac{x_{1}}{x_{2}}$，故选项B错误；$x_{2}-x_{1}\in(\text{e},3+\pi)$，$x_{2}+x_{1}\in(\text{e}-3,\pi)$，故选项C错误，选项D正确，故选D.

阅读下面的材料，完成28~30小题.
　　已知甲射击的命中率为0.7,乙射击的命中率为0.8,甲、乙两人的射击互相独立.
28.甲乙两人同时击中目标的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.0.55　　　　　　　　　　　　　　　　　B.0.56
　
C.0.57　　　　　　　　　　　　　　　　　D.0.58
29.甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.0.50　　　　　　　　　　　　　　　　　B.0.70
　
C.0.94　　　　　　　　　　　　　　　　　D.0.96
30.甲乙两人中恰有一人击中目标的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.0.38　　　　　　　　　　　　　　　　　B.0.42
　
C.0.48　　　　　　　　　　　　　　　　　D.0.56

答案： B 设甲击中目标为事件$A$，乙击中目标为事件$B$，则甲、乙两人同时击中目标的概率$P_{1}=P(AB)=P(A)P(B)=0.7\times0.8 = 0.56$，故选B.
@@C 甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率为$P_{2}=1 - P(\overline{A}\overline{B})=1 - P(\overline{A})P(\overline{B})=1 - 0.3\times0.2 = 0.94$，故选C.
@@A 甲乙两人中恰有一人击中目标的概率为$P_{3}=P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)=0.7\times0.2+0.3\times0.8 = 0.38$，故选A.

根据下面的题设，完成31~33小题.
　　如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PCD是等边三角形,侧面PCD⊥底面ABCD,E,F分别为CD,PB的中点.
　　　　　　　　　　　　　　　　
31.若AB = 2,则三棱锥C - BEF的体积是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
　
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
32.下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.BD⊥EF　　　　　　　　　　　　　　　B.BC⊥EF
　
C.EF//平面PAD　　　　　　　　　　　D.CF⊥平面PAD
33.直线EF与平面PCD所成角的余弦值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{\sqrt{2}}{6}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
　　
C.$\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：
D 连接$PE$，$\because$侧面$PCD$是等边三角形，$E$为$CD$的中点，$\therefore PE\perp CD$. 又$\because$侧面$PCD\perp$底面$ABCD$，平面$PCD\cap$平面$ABCD = CD$，$PE\subset$平面$PCD$，$PE\perp DC$，$\therefore PE\perp$平面$ABCD$.$\because AB = 2$，$\therefore PE=\sqrt{3}$.$\because F$为$PB$的中点，$\therefore$点$F$到平面$ABCD$的距离是$\frac{1}{2}PE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即三棱锥$F - BCE$的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$\because S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}\times2\times1 = 1$，$\therefore V_{三棱锥C - BEF}=V_{三棱锥F - BCE}=\frac{1}{3}\times S_{\triangle BCE}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，故选D.
@@C 取$PA$的中点$G$，连接$FG$，$DG$，则$FG// AB$，且$FG=\frac{1}{2}AB$，$\therefore FG// ED$，且$FG = ED$，$\therefore$四边形$EFGD$为平行四边形，$\therefore EF// DG$，又$\because DG\subset$平面$PAD$，$EF\not\subset$平面$PAD$，$\therefore EF//$平面$PAD$，故选C.
@@D 取$PC$的中点$H$，连接$FH$，$EH$，则$FH// BC$. 易知$BC\perp$平面$PCD$，$\therefore FH\perp$平面$PCD$，$\therefore\angle FEH$为直线$EF$与平面$PCD$所成的角. 设$AB = 2$，则$FH = 1$，$EH = 1$. 在$\text{Rt}\triangle PEB$中，$PE=\sqrt{3}$，$BE=\sqrt{5}$，则$PB = 2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2}$，$\therefore\triangle HFE$为直角三角形，$EF$为斜边，$\therefore\cos\angle FEH=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故选D.