《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

5.函数$f(x)=(1 - x)^{-\frac{1}{4}}+(2x - 1)^{0}$的定义域是( )
A. $(-\infty,1]$
B. $(-\infty,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},1)$
C. $(-\infty,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},1]$
D. $(-\infty,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$

答案： 由题意，要使$f(x)$有意义，则$\begin{cases}1 - x＞0\\2x - 1\neq0\end{cases}$，解得$x＜1$，且$x\neq\frac{1}{2}$，所以$f(x)$的定义域为$(-\infty,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},1)$，故选B.

6.设$a,b\in\mathbf{R}$,若$a + |b|\lt0$,则下列不等式中正确的是( )
A. $a - b\gt0$
B. $a^{3}+b^{3}\gt0$
C. $a^{2}-b^{2}\lt0$
D. $a + b\lt0$

答案： 本题可采用特殊值法，取$a=-2$，$b = 1$，则$a - b＜0$，$a^{3}+b^{3}＜0$，$a^{2}-b^{2}＞0$，$a + b=-1＜0$.故A，B，C错误，D正确.

7.在$\triangle ABC$中,已知$A = 30^{\circ},B = 60^{\circ},a = 10$,则$b$等于( )
A. $5\sqrt{2}$
B. $10\sqrt{3}$
C. $\frac{10\sqrt{3}}{3}$
D. $5\sqrt{6}$

答案： B 由正弦定理得，$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=10\sqrt{3}$.

8.若向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1,\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$,则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$等于( )
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{2}$
C. $1+\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 2

答案： B $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos60^{\circ}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.

9.函数$y = \sin(x+\frac{\pi}{2}),x\in\mathbf{R}$在( )
A. $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上是增函数
B. $[0,\pi]$上是减函数
C. $[-\pi,0]$上是减函数
D. $[-\pi,\pi]$上是减函数

答案： B 因为$y=\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos x$，所以在区间$[-\pi,0]$上是增函数，在$[0,\pi]$上是减函数.

10.给出以下三个命题:(1)把一枚硬币抛掷两次,记事件$A$:“两次都出现正面”,事件$B$:“两次都出现反面”,则事件$A$与事件$B$是对立事件;(2)在命题(1)中,事件$A$与事件$B$是互斥事件;
(3)在10件产品中有3件是次品,从中任取3件,记事件$A$:“所取3件中最多有2件是次品”,事件$B$:“所取3件中至少有2件是次品”,则事件$A$与事件$B$是互斥事件.其中命题正确的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案：
(1)还有可能出现一次出现正面，一次出现反面这种情况，所以事件$A$和$B$是互斥事件，但不是对立事件，所以
(1)错误；
(2)正确；
(3)中可能出现2件次品，1件正品的情况，所以事件$A$与事件$B$不是互斥事件.故选B.