《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

18.已知a,b,c是三条不同的直线,则能保证直线a与平面α平行的条件是 （ ）
A.b⊂α,a//b
B.b⊂α,c//α,a//b,a//c
C.b⊂α,点A,B∈a,点C,D∈b,且AC = BD
D.a⊄α,b⊂α,a//b

答案： A 和 B 中，a 与平面 $\alpha$ 平行或 a 在平面 $\alpha$ 内；C 中，a 与平面 $\alpha$ 平行、相交或 a 在平面 $\alpha$ 内；D 中，a 与平面 $\alpha$ 平行. 故选 D.

19.设向量a = ($\sqrt{3}$,1),b = (x,-3),c = (1,-$\sqrt{3}$),若b//c,则a - b与b的夹角为 （ ）
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°

答案： D  因为 b//c，所以 - $\sqrt{3}x$ = - 3×1，所以 x = $\sqrt{3}$，
所以 b = （$\sqrt{3}$， - 3），a - b = （0，4）.
所以 a - b 与 b 的夹角的余弦值为 $\frac{b\cdot(a - b)}{|a - b||b|}=\frac{-12}{4×2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以 a - b 与 b 的夹角为 150°.

20.设复数z = -1 + 2i(i是虚数单位),z的共轭复数为$\overline{z}$,则$\frac{1+\overline{z}}{z}$= （ ）
A.$\frac{4}{5}+\frac{2}{5}i$
B.-$\frac{4}{5}+\frac{2}{5}i$
C.$\frac{4}{5}-\frac{2}{5}i$
D.-$\frac{4}{5}-\frac{2}{5}i$

答案：
∵z = - 1 + 2i，
∴$\overline{z}$ = - 1 - 2i，
∴$\frac{1+\overline{z}}{z}=\frac{1 - 1 - 2i}{-1 + 2i}=\frac{2i}{1 - 2i}=\frac{2i(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)}=-\frac{4}{5}+\frac{2}{5}i$，故选 B.

21.在平面四边形ABCD中,满足$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=0$,($\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$)·$\overrightarrow{AC}=0$,则四边形ABCD是（ ）
A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.梯形

答案： 由 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=0$ 可知四边形 ABCD 为平行四边形，由向量的平行四边形法则，得 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，那么（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$）·（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$） = 0，得 |AB| = |AD|，故四边形 ABCD 是菱形，故选 A.

22.已知直线a,b,c,下列三个命题;
①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;
②若a//b,a和c相交,则b和c也相交;
③若a⊥b,a⊥c,则b//c.
其中,正确命题的个数是 （ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
A ①不正确，如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确，可能平行，可能相交也可能异面.

23.从装有4只红球、4只白球的袋中任意取出2只球,记事件A =“摸出2只白球”,事件B =“摸出1只白球和1只红球”,则下列说法正确的是 （ ）
A.事件B是必然事件
B.事件A是不可能事件
C.事件A与事件B互为对立事件
D.事件A与事件B互斥

答案： 事件 A，B 都是随机事件，应排除选项 A，B；事件 B 的对立事件是“摸出 2 只白球或摸出 2 只红球”，应排除选项 C，故选 D.