《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

11.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”,为评估共享单车的使用情况,选了$n$座城市作实验基地,这$n$座城市共享单车的使用量(单位:人次/天)分别为$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$,下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )
A. $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的标准差
B. $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的平均数
C. $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的最大值
D. $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的中位数

答案： 因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势，方差和标准差描述其波动大小，所以表示一组数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的稳定程度的是方差或标准差，故选A.

12.在$\mathbf{R}$上定义运算$\odot$:$a\odot b = ab + 2a + b$,则满足$x\odot(x - 2)\lt0$的实数$x$的取值范围为( )
A. $\{x|0\lt x\lt2\}$
B. $\{x|-2\lt x\lt1\}$
C. $\{x|x\lt - 1$,或$x\gt1\}$
D. $\{x|-1\lt x\lt2\}$

答案： $x\odot(x - 2)=x(x - 2)+2x+x - 2＜0\Rightarrow(x + 2)(x - 1)＜0$，不等式的解集为$\{x|-2＜x＜1\}$，故选B.

13.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩:56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,则这15人成绩的70%分位数是( )
A. 86
B. 87
C. 88
D. 89

答案： 因为$15\times0.7 = 10.5$，所以这15人成绩的70％分位数为第11位数，即88，故选C.

14.$\boldsymbol{a}=(-4,3),\boldsymbol{b}=(5,6)$,则$3|\boldsymbol{a}|^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$等于( )
A. 23
B. 57
C. 63
D. 83

答案： D 因为$|\boldsymbol{a}|^{2}=(-4)^{2}+3^{2}=25$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(-4)\times5+3\times6=-2$，所以$3|\boldsymbol{a}|^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3\times25-4\times(-2)=83$.