《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

11.若a²=3,且a＞0,则log3a的值为 ( )
A.-$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.-$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： D 由已知易得log$_{3}$a = log$_{3}$$\sqrt{3}$ = log$_{3}$3$^{\frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{2}$log$_{3}$3 = $\frac{1}{2}$，故选D.

12.已知a=$\sqrt{3}$,b=3sin$\frac{π}{6}$,c=log327,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a＜c＜b
B.a＜b＜c
C.c＜a＜b
D.c＜b＜a

答案： B a = $\sqrt[3]{3}$ = 3$^{\frac{1}{3}}$，b = 3$^{\sin\frac{\pi}{6}}$ = 3$^{\frac{1}{2}}$，c = log$_{3}$27 = 3.
∵y = 3$^{x}$在R上单调递增且$\frac{1}{3}$ ＜ $\frac{1}{2}$ ＜ 1，
∴3$^{\frac{1}{3}}$ ＜ 3$^{\frac{1}{2}}$ ＜ 3，即a ＜ b ＜ c，故选B.

13.若a,b为两条异面直线,α,β为两个平面,a⊂α,b⊂β,α∩β=l,则下列结论中正确的是 ( )
A.l至少与a,b中一条平行
B.l至少与a,b中一条相交
C.l至多与a,b中一条相交
D.l必与a,b中一条相交,与另一条平行

答案： B 若a，b为两条异面直线，α，β为两个平面，a⊂α，b⊂β，α∩β = l，则l至少与a，b中一条相交，故选B.

14.定义两种运算:a⊕b=$\sqrt{a² - b²}$,a⊗b=$\sqrt{(a - b)²}$,则f(x)=$\frac{2⊕x}{2 - (x⊗2)}$是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数

答案： A 2⊕x = $\sqrt{4 - x^{2}}$，x⊗2 = $\sqrt{(x - 2)^{2}}$，所以f(x) = $\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2 - \sqrt{(x - 2)^{2}}}$，
∴该函数的定义域是[ - 2，0）∪（0，2]，则f（x） = $\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2 - (2 - x)}$ = $\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x}$，且满足f( - x) = - f(x)，故函数f(x)是奇函数，故选A.

15.若函数f(x)=(2a - 1)x + b在R上是单调减函数,则有 ( )
A.a≥$\frac{1}{2}$
B.a≤$\frac{1}{2}$
C.a＞$\frac{1}{2}$
D.a＜$\frac{1}{2}$

答案： D 函数f(x) = （2a - 1）x + b在R上是单调减函数，则2a - 1 ＜ 0，即a ＜ $\frac{1}{2}$. 故选D.

16.已知向量$\overrightarrow{AB}$=(2,4),$\overrightarrow{AC}$=(0,2),则$\overrightarrow{BC}$= ( )
A.(-2,-2)
B.(2,2)
C.(1,1)
D.(-1,-1)

答案： A $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{AC}$ - $\overrightarrow{AB}$ = （ - 2， - 2）. 故选A.