《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

10.sin 105°的值为 (　　　)
A.$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　　　　　　　　
　B.$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$　　　　　　　　　　　　　　
　D.$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

答案： D $\sin105^{\circ}=\sin(45^{\circ}+60^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos60^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

11.“a＞0,b＞0”是“ab＜$\left(\frac{a + b}{2}\right)^2$”的 (　　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： D 当 $a＞0$，$b＞0$ 时，$\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，即 $ab\leqslant(\frac{a + b}{2})^{2}$，当 $a = b$ 时，$ab＜(\frac{a + b}{2})^{2}$ 不成立，故充分性不成立；当 $ab＜(\frac{a + b}{2})^{2}$ 时，$a$，$b$ 可以异号，故 $a＞0$，$b＞0$ 不一定成立，故必要性不成立. 综上，知“$a＞0$，$b＞0$”是“$ab＜(\frac{a + b}{2})^{2}$”的既不充分也不必要条件，故选 D.

12.若函数f($\sqrt{2x}$ + 1)=x² - 2x,则f(3)等于 (　　　)
A.0　　　　　　　　　　　　　　　　　
　B.1
C.2　　　　　　　　　　　　　　　　　
　D.3

答案： A 因为 $f(\sqrt{2x}+1)=x^{2}-2x$，所以 $f(3)=f(\sqrt{2\times2}+1)=2^{2}-2\times2 = 0$，即 $f(3)=0$.

13.△ABC中,sin A = sin C,则△ABC是 (　　　)
A.直角三角形　　　　　　　　　　　　
　B.等腰三角形
C.锐角三角形　　　　　　　　　　　　
　D.钝角三角形

答案： B 由正弦定理可得 $\sin A=\sin C\Rightarrow\frac{a}{2R}=\frac{c}{2R}$，即 $a = c$，所以 $\triangle ABC$ 为等腰三角形.

14.在四边形ABCD中,若$\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{CB}$ = 0,$\overrightarrow{AC}$·$\overrightarrow{BD}$ = 0,则四边形ABCD为 (　　　)
A.平行四边形　　　　　　　　　　　　
　B.矩形
C.等腰梯形　　　　　　　　　　　　　
　D.菱形

答案： D $\because\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\mathbf{0}$，$\therefore\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$. $\therefore AD\equalparallel BC$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形. $\because\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$，$\therefore\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BD}$，$\therefore AC\perp BD$，$\therefore\square ABCD$ 的对角线垂直. $\therefore\square ABCD$ 为菱形.

15.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b),其全程的平均时速为v,则 (　　　)
A.a＜v＜$\sqrt{ab}$　　　　　　　　　　　　
　B.v = $\sqrt{ab}$
C.$\sqrt{ab}$＜v＜$\frac{a + b}{2}$　　　　　　　　　　
　D.v = $\frac{a + b}{2}$

答案： A 记甲、乙两地间的距离为 $S$. 依题意得知，$v=\frac{2S}{\frac{S}{a}+\frac{S}{b}}=\frac{2ab}{a + b}$，又 $0＜a＜b$，于是有 $\frac{2a}{1 + 1}＜v=\frac{2a}{\frac{a}{b}+1}=\frac{2ab}{a + b}＜\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}=\sqrt{ab}$，即有 $a＜v＜\sqrt{ab}$，故选 A.