《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

根据下面的题设，完成34~36小题.
　　将函数f(x)=sin x + $\sqrt{3}$cos x图象上所有点向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，然后横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.
34.函数g(x)的最小正周期为 (　　　)
A.$\frac{\pi}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　
　B.π
C.2π　　　　　　　　　　　　　　　　
　D.$\frac{\pi}{3}$
35.函数g(x)的单调递增区间为 (　　　)
A.$\left[-\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{6}+k\pi\right],k\in$Z
B.$\left[-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{6}+2k\pi\right],k\in$Z
C.$\left[-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right],k\in$Z
D.$\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right],k\in$Z
36.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin$\left(\frac{\pi}{3}-B\right)$cos$\left(\frac{\pi}{6}+B\right)=\frac{1}{4}$,c = g$\left(\frac{\pi}{6}\right)$,b = 2$\sqrt{3}$,则△ABC的面积为 (　　　)
A.2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{3}$　　　　　　　　　　　　
　B.2$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}$
C.2$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}$　　　　　　　　　　
　D.2或2$\sqrt{2}$

答案： B $f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin(x+\frac{\pi}{3})$. $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到 $y = 2\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 的图象. 横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变）得到 $y = 2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图象，所以 $g(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$，所以最小正周期 $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$.
@@A 因为 $g(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$，令 $-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$. 得 $-\frac{\pi}{3}+k\pi\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{6}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$. 所以 $g(x)$ 的单调递增区间为 $[-\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{6}+k\pi](k\in\mathbf{Z})$.
@@C 由 $g(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 知，$c = g(\frac{\pi}{6})=2$. 因为 $\sin(\frac{\pi}{3}-B)\cos(\frac{\pi}{6}+B)=\cos^{2}(\frac{\pi}{6}+B)=\frac{1}{4}$，所以 $\cos(\frac{\pi}{6}+B)=\pm\frac{1}{2}$. 又因为 $B\in(0,\pi)$. 所以 $B+\frac{\pi}{6}\in(\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6})$. 当 $\cos(\frac{\pi}{6}+B)=\frac{1}{2}$ 时，$B+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$，得 $B=\frac{\pi}{6}$. 此时由余弦定理可知，$4 + a^{2}-2\times2a\cos\frac{\pi}{6}=12$，所以 $a=\sqrt{3}+\sqrt{11}$，所以 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2\times(\sqrt{3}+\sqrt{11})\times\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}$. 当 $\cos(\frac{\pi}{6}+B)=-\frac{1}{2}$ 时，$B+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$，得 $B=\frac{\pi}{2}$. 由勾股定理可得，$a=\sqrt{12 - 4}=2\sqrt{2}$，所以 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$. 综上，$\triangle ABC$ 的面积为 $2\sqrt{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}$.