《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

根据下面的题设，完成34~36小题.
　　已知函数$f(x)=\sin2x-\sqrt{3}\cos2x,x\in\mathbf{R}$.
34.函数$f(x)$的最小正周期为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{\pi}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\pi$
　　
C.$\frac{3\pi}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$2\pi$
35.若$h(x)=f(x + t)$的图象关于点$(-\frac{\pi}{6},0)$对称,且$t\in(0,\pi)$，则t的值为　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{\pi}{3}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{5\pi}{6}$
　　
C.$\frac{\pi}{3}$或$\frac{5\pi}{6}$　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\frac{\pi}{3}$或$\frac{\pi}{2}$
36.当$x\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$时,不等式$|f(x)-m|＜3$恒成立,实数m的取值范围为　　　　　　　　(　　　)
　　
A.[1,2]　　　　　　　　　　　　　　　　B.(-3,3)
　　
C.[-1,4)　　　　　　　　　　　　　　　D.(-1,4)

答案： B 因为$f(x)=\sin2x-\sqrt{3}\cos2x=2(\frac{1}{2}\sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})$. 故$f(x)$的最小正周期为$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$.
@@C 由34题知$h(x)=2\sin(2x + 2t-\frac{\pi}{3})$. 令$2\times(-\frac{\pi}{6})+2t-\frac{\pi}{3}=k\pi(k\in\mathbf{Z})$，得$t=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$，又$t\in(0,\pi)$，故$t=\frac{\pi}{3}$或$t=\frac{5\pi}{6}$.
@@D 当$x\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$时，$2x-\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}]$，所以$f(x)\in[1,2]$. 又$|f(x)-m| ＜ 3$，即$f(x)-3 ＜ m ＜ f(x)+3$，所以$2 - 3 ＜ m ＜ 1 + 3$，即$-1 ＜ m ＜ 4$. 故实数$m$的取值范围是$(-1,4)$.