《2025年一线调研学业测评八年级数学下册华师大版》

7. 先化简,再求值:($\frac{a² + 4b²}{a}$ - 4b)÷$\frac{4b² - a²}{a² + 2ab}$,其中a、b满足$\begin{cases}2a - 2b = 4 \\ a + b = 7 \end{cases}$.

答案： 解：原式=$\frac{a^2 + 4b^2 - 4ab}{a} \cdot \frac{a(a + 2b)}{(2b + a)(2b - a)} = \frac{(a - 2b)^2}{a} \cdot \frac{a}{2b - a} = 2b - a$。解方程组$\begin{cases}2a - 2b = 4 \\ a + 2b = 7 \end{cases}$，得$\begin{cases} a = 3 \\ b = 2 \end{cases}$。当$a = 3$，$b = 2$时，原式=$2×2 - 3 = 1$。

8. 先化简，再求值:$\frac{a}{a² - 4}$·$\frac{a + 2}{a² - 3a}$ + $\frac{1}{2 - a}$,其中整数a与2、3分别为△ABC的三边长.

答案： 解：原式=$\frac{a}{(a + 2)(a - 2)} \cdot \frac{a + 2}{a(a - 3)} + \frac{1}{a - 2} = \frac{1}{(a - 2)(a - 3)} + \frac{1}{a - 2} = \frac{1 + a - 3}{(a - 2)(a - 3)} = \frac{1}{a - 3}$。
∵整数$a$与$2$、$3$分别为$\triangle ABC$的三边长，
∴$1 ＜ a ＜ 5$，即$a = 2$或$3$或$4$。当$a = 2$或$3$时，原式无意义，则$a$只能取$4$。当$a = 4$时，原式=$\frac{1}{4 - 3} = 1$。

9. 观察下列各式:
2 + $\frac{2}{3}$ = 2²×$\frac{2}{3}$;
3 + $\frac{3}{8}$ = 3²×$\frac{3}{8}$;
4 + $\frac{4}{15}$ = 4²×$\frac{4}{15}$;
若10 + $\frac{a}{b}$ = 10²×$\frac{a}{b}$(a、b为正整数),求分式$\frac{a² + 2ab + b²}{a - b}$÷$\frac{a + b}{a - b}$的值.

答案： 解：观察等式，得$10 + \frac{10}{10^2 - 1} = 10^2 \times \frac{10}{10^2 - 1}$，
∴$a = 10$，$b = 99$。
∴原式=$\frac{(a + b)^2}{a - b} \cdot \frac{a - b}{a + b} = a + b = 10 + 99 = 109$。

10. 先化简，再求值: ($\frac{x² - x}{x² - 2x + 1}$ - 2)÷$\frac{x - 2}{x² - 1}$,其中x是不等式组$\begin{cases}2(x - 2) \leq 3(x - 1) \\ \frac{x}{3} ＜ \frac{x + 1}{4} \end{cases}$的整数解.

答案： 解：原式=$[\frac{x(x - 1)}{(x - 1)^2} - 2] \div \frac{x - 2}{(x + 1)(x - 1)}$=$(\frac{x}{x - 1} - 2) \cdot \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$=$\frac{x - 2x + 2}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$=$\frac{2 - x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$=$-x - 1$。解不等式组$\begin{cases}2(x - 2) \leq 3(x - 1) \\ \frac{x}{3} ＜ \frac{x + 1}{4} \end{cases}$，得$-1 \leq x ＜ 3$。其中整数解为$-1$、$0$、$1$、$2$。
∵$x \neq -1$、$1$、$2$，
∴把$x = 0$代入，得原式=$-1$。

11. 已知A = ($\frac{m}{n}$ - $\frac{n}{m}$)·$\frac{3mn}{m - n}$.
(1)化简A.
(2)若m + n - 2 = 0,求A的值.

答案： 解：
(1)$A = (\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{3mn}{m - n} = \frac{m^2 - n^2}{mn} \cdot \frac{3mn}{m - n} = \frac{(m + n)(m - n)}{mn} \cdot \frac{3mn}{m - n} = 3m + 3n$。
(2)
∵$m + n - 2 = 0$，
∴$m + n = 2$。
∴$A = 3m + 3n = 3(m + n) = 3×2 = 6$。