《2025年一线调研学业测评八年级数学下册华师大版》

14. (广东中考)若$x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}$且$0\lt x\lt1$，则$x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=$________。

答案： - $\frac{65}{36}$

15. 解方程：
(1) $\frac{x - 2}{x - 3}=2-\frac{1}{3 - x}$；
(2) (陕西中考)$\frac{x - 1}{x + 1}-\frac{3}{x^{2}-1}=1$。

答案： 解:
(1)方程两边同乘以(x - 3)，得x - 2 = 2(x - 3) + 1，
去括号，得x - 2 = 2x - 6 + 1，
移项、合并同类项得：x - 2x = - 6 + 1 + 2，
即 - x = - 3，解得x = 3。
检验：当x = 3时，x - 3 = 0，
所以x = 3是原分式方程的增根，原分式方程无解。
(2)方程两边同乘以(x + 1)(x - 1)，得(x - 1)² - 3 = (x + 1)(x - 1)，
展开式子得：x² - 2x + 1 - 3 = x² - 1，
移项、合并同类项得：x² - x² - 2x = - 1 - 1 + 3，
即 - 2x = 1，解得x = - $\frac{1}{2}$。
检验：当x = - $\frac{1}{2}$时，(x + 1)(x - 1) = (- $\frac{1}{2}$ + 1)×(- $\frac{1}{2}$ - 1) = $\frac{1}{2}$×(- $\frac{3}{2}$) = - $\frac{3}{4}$≠0，
所以x = - $\frac{1}{2}$是原分式方程的解。

16. (雅安中考)
(1) 计算：$(\sqrt{3})^{2}+\vert -4\vert -(\frac{1}{2})^{-2}$；
(2) 化简：$(1+\frac{a}{2 - a})\div\frac{4 - a^{2}}{a^{2}-4a + 4}$，并在$-2$、$0$、$2$中选择一个合适的$a$值代入求值。

答案： 解:
(1)原式 = 3 + 4 - 2 = 5。
(2)原式 = $\frac{2 - a + a}{2 - a}$×$\frac{(a - 2)²}{-(a + 2)(a - 2)}$ = $\frac{2}{-(a - 2)}$×$\frac{a - 2}{-(a + 2)}$ = $\frac{2}{a + 2}$。
因为a≠2且a≠ - 2，所以a取0。
当a = 0时，原式 = $\frac{2}{0 + 2}$ = 1。

17. (聊城中考)为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造。在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务。
(1) 求实际施工时，每天改造管网的长度；
(2) 施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？

答案： 解:
(1)设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网(1 + 20%)x米。
由题意，得$\frac{3600}{x}$ - $\frac{3600}{(1 + 20\%)x}$ = 10，
方程两边同乘1.2x得：3600×1.2 - 3600 = 10×1.2x，
即4320 - 3600 = 12x，
720 = 12x，解得x = 60。
经检验，x = 60是原方程的解，且符合题意。
此时，60×(1 + 20%) = 72(米)。
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米。
(2)设以后每天改造管网还要增加m米。
由题意，得(40 - 20)(72 + m)≥3600 - 72×20，
即20(72 + m)≥3600 - 1440，
20(72 + m)≥2160，
72 + m≥108，解得m≥36。
答：以后每天改造管网至少还要增加36米。

18. (舟山中考)观察下面的等式：
$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$，...
(1) 按上面的规律归纳出一个一般性的结论(用含$n$的等式表示，$n$为正整数)。
(2) 请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的。

答案： 解:
(1)因为第一个式子$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2 + 1}$ + $\frac{1}{2×(2 + 1)}$，
第二个式子$\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{3 + 1}$ + $\frac{1}{3×(3 + 1)}$，
第三个式子$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{20}$ = $\frac{1}{4 + 1}$ + $\frac{1}{4×(4 + 1)}$，
所以第(n - 1)个式子$\frac{1}{n}$ = $\frac{1}{n + 1}$ + $\frac{1}{n(n + 1)}$。
(2)因为右边 = $\frac{1}{n + 1}$ + $\frac{1}{n(n + 1)}$ = $\frac{n}{n(n + 1)}$ + $\frac{1}{n(n + 1)}$ = $\frac{n + 1}{n(n + 1)}$ = $\frac{1}{n}$ = 左边，
所以$\frac{1}{n}$ = $\frac{1}{n + 1}$ + $\frac{1}{n(n + 1)}$。