《2025年一线调研学业测评八年级数学下册华师大版》

12. 下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程$\frac{x - 2}{x² - 4x + 4} = 0$的根为x = 2；③方程$\frac{1}{2x} = \frac{1}{2x - 4}$中各分式的最简公分母为2x(2x - 4)；④x + $\frac{1}{x - 1}$ = 1 + $\frac{1}{x - 1}$是分式方程。其中正确的个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： A

13. 对于非零的两个实数a、b，规定a⊗b = $\frac{3}{b} - \frac{2}{a}$，若5⊗(3x - 1) = 2，则x的值为（ ）
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{2}{3}$
D. -$\frac{1}{6}$

答案： B

14. 若关于x的不等式组$\begin{cases}x - 2 ＜ 3(x - 2)\\\frac{a + x}{2} ＞ 2x - 1\end{cases}$无解，且关于y的分式方程$\frac{a + 2}{y - 2} + \frac{y}{2 - y} = 3$有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A. 0
B. -2
C. 2
D. 4

答案： C

15. 已知关于x的分式方程$\frac{|2x| - a}{|x| - 2} = \frac{1}{2}$有解，则a的取值范围是________________。

答案： a≥1且a≠4

16. 解分式方程：$\frac{2}{x² + 3x} + \frac{3}{3x - x²} = \frac{14}{x² - 9}$。

答案： 解:去分母，得2(x−3)−3(x+3)=14x.
去括号，得2x−6−3x−9=14x.
移项并合并同类项，得x=−1.
检验:当x=−1时，x(x+3)(x−3)=8≠0.
∴原分式方程的解为x=−1.

17. 点A、B在数轴上所对应的数如图所示，且点A、B关于原点对称，求x的值。

答案： 解:根据题意，得点A和点B在数轴上所对应的数互为相反数，即$\frac{x + 3}{x - 2}+\frac{1 - x}{2 - x}=0$.方程两边同乘以(x−2)，得x+3−(1−x)=0.解得x=−1.检验:当x=−1时，x - 2≠0.所以原分式方程的解为x=−1.故x的值为−1.

18. 关于x的方程：
x + $\frac{1}{x}$ = c + $\frac{1}{c}$的解为x₁ = c，x₂ = $\frac{1}{c}$；
x - $\frac{1}{x}$ = c - $\frac{1}{c}$（可变形为x + $\frac{-1}{x}$ = c + $\frac{-1}{c}$）的解为x₁ = c，x₂ = $\frac{-1}{c}$；
x + $\frac{2}{x}$ = c + $\frac{2}{c}$的解为x₁ = c，x₂ = $\frac{2}{c}$；
x + $\frac{3}{x}$ = c + $\frac{3}{c}$的解为x₁ = c，x₂ = $\frac{3}{c}$；
……
根据以上材料解答下列问题：
(1) ①方程x + $\frac{1}{x}$ = 2 + $\frac{1}{2}$的解为____________________；
②方程x - 1 + $\frac{1}{x - 1}$ = 2 + $\frac{1}{2}$的解为______________________。
(2) 解关于x的方程：x - $\frac{3}{x - 2}$ = a - $\frac{3}{a - 2}$（a ≠ 2）。

答案： 解:
(1)①x1=2，x2=$\frac{1}{2}$　②x1=3，x2=$\frac{3}{2}$
(2)原方程可化为x−2+$\frac{−3}{x - 2}=a - 2+\frac{−3}{a - 2}$.
∴x−2=a−2，x−2=$\frac{−3}{a - 2}$.解得x1=a，x2=$\frac{2a - 7}{a - 2}$.