《2025年一线调研学业测评八年级数学下册华师大版》

12. 计算$\frac{a^{-2}b^{-3}( - 3a^{-1}b^2)}{6a^{-3}b^{-2}}$的结果为　　(　　　)
A. $\frac{2}{b}$　　　　B. $- \frac{b}{2}$　　　　C. $1$　　　　D. $\frac{b}{2}$

答案： B

13. 若$3^x = 7$，$3^y = \frac{1}{7}$，则$x$、$y$之间的关系为
　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 互为相反数　　　　　　B. 相等
C. 互为倒数　　　　　　　D. 无法判断

答案： A　[解析]
∵3ˣ = 7，3ʸ = $\frac{1}{7}$，
∴3ˣ⁺ʸ = 3ˣ·3ʸ = 1，
∴x + y = 0.

14. 若$a = (\frac{1}{2})^{-2}$，$b = ( - 2)^2$，$c = - ( - \frac{1}{2})$，则$a$、$b$、$c$的大小关系是　　　　　　(　　　)
A. $b＜c＜a$　　　　　　　　B. $b＜a＜c$
C. $c＜b＜a$　　　　　　　　D. $a＜c＜b$

答案： A

15. 若$7^{-2}×7^{-1}×7^0 = 7^p$，则$p$的值为________.

答案： −3

16. 计算:$(\frac{1}{10})^{-2} + (\frac{1}{30})^{-2}×(π - 4)^0 - ( - 3)^3×0.3^{-1} + | - 28| - ( - 6)$.

答案： 2024

17. 我们知道纳米$(nm)$是非常小的长度单位，$1nm = 10^{-9}m$，用边长为$1nm$的小正方形去铺成一个边长为$1cm$的正方形，求需要的小正方形的个数.

答案： 解:边长为1cm的正方形的面积为(10⁻²)² = 10⁻⁴(m²)，边长为1nm的小正方形的面积为(10⁻⁹)² = 10⁻¹⁸(m²)，则铺成一个边长为1cm的正方形需要小正方形的个数为10⁻⁴÷10⁻¹⁸ = 10¹⁴(个).

18. 已知$10^{-2a} = 3$，$10^{-b} = - \frac{1}{5}$，求$10^{6a + 2b}$的值.

答案： 解:
∵10⁻²ᵃ = 3，10⁻ᵇ = −$\frac{1}{5}$，
∴10²ᵃ = $\frac{1}{3}$，10ᵇ = −5.
∴10⁶ᵃ⁺²ᵇ = 10⁶ᵃ·10²ᵇ = (10²ᵃ)³·(10ᵇ)² = ($\frac{1}{3}$)³×(−5)² = $\frac{25}{27}$.

19. 已知式子$(x - 2)^0 - \frac{(x - 1)^{-1}}{2x - 3}$有意义，求$x$的取值范围.

答案： 解:根据题意，得$\begin{cases}x - 2 \neq 0 \\ 2x - 3 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x \neq 2 \\ x \neq \frac{3}{2} \\ x \neq 1\end{cases}$，故x的取值范围为x ≠ 2，x ≠ $\frac{3}{2}$且x ≠ 1.

20. 阅读材料:①$1$的任何次幂都等于$1$；②$- 1$的奇数次幂都等于$- 1$；③$- 1$的偶数次幂都等于$1$；④任何不等于零的数的零次幂都等于$1$.
试根据以上材料探索使等式$(2x + 3)^{x + 2024} = 1$成立的$x$的值.

答案： 解:①当2x + 3 = 1时，x = −1，此时(2x + 3)ˣ⁺²⁰²⁴ = 1²⁰²³ = 1；
②当2x + 3 = −1时，x = −2，此时(2x + 3)ˣ⁺²⁰²⁴ = (−1)²⁰²² = 1；
③当x + 2024 = 0时，x = −2024，且2×(−2024) + 3 = −4045 ≠ 0，此时(2x + 3)ˣ⁺²⁰²⁴ = (−4045)⁰ = 1.
综上所述，x的值为−1或−2或−2024.