《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

23.（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD是正方形，E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为一边作正方形AEFG，连接EB，GD.
（1）如图1，求证：EB=GD.
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB=5，AG=3√2，求BE的长.
（图1：正方形ABCD，A在左下，B右下，C右上，D左上；正方形AEFG，G在A左上，F在G左上，E在F右下、A右上；图2：E在DG上，G在A左上，D在A右上，B在A右下）

答案： （1）
∵四边形ABCD和AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°.
∴∠BAE=∠DAG（∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD）.
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴EB=GD.
（2）
∵AG=3√2，正方形AEFG中，AG为对角线，
∴AE=AG/√2=3.
设A(0,0)，B(5,0)，D(0,5)，G(a,b)，则E(-b,a)（AE⊥AG且等长）.
∵AG=3√2，
∴a²+b²=18.
E在DG上，DG过D(0,5)，G(a,b)，参数方程x=ta，y=5+t(b-5).
E(-b,a)在DG上，
∴-b=ta，a=5+t(b-5).解得t=-b/a，代入得a=5- b(b-5)/a，即a²=5a -b² +5b.
∵a² +b²=18，
∴18=5(a +b)，a +b=18/5.
联立a² +b²=18，(a +b)²=324/25，2ab=324/25 -18=-126/25，ab=-63/25.
解得a=-3/5，b=21/5（E(-b,a)=(-21/5,-3/5)）.
BE=√[(-21/5 -5)² +(-3/5 -0)²]=√[( -46/5)² +( -3/5)²]=√(2116+9)/25=√2125/5=√85.
∴BE=√85.