《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

26.（本小题满分15分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，E是CD的中点，且点E的纵坐标是1，反比例函数$ y = \frac{k_1}{x} $（$ k_1 \neq 0, x ＞ 0 $）的图象经过点A，E，P是该双曲线上的一个动点.
（1）求$ k_1 $的值.
（2）如图2，连接OA，AC，AE，当$ \angle AOP = \angle EAC $时，求点P的坐标.
（3）如图3，若射线OP绕点O顺时针旋转$ 90^\circ $，交双曲线$ y = \frac{k_2}{x} $于点Q，连接PQ，当$ \angle OPQ $的度数满足$ 30^\circ ＜ \angle OPQ \leq 60^\circ $时，直接写出$ k_2 $的取值范围.

答案： （1）4
解析：
∵E是CD中点，E的纵坐标为1，正方形ABCD中CD⊥BC，
∴CD=2（边长为2）.设B(b,0)，则C(b+2,0)，D(b+2,2)，E(b+2,1)，A(b,2).
∵A，E在$ y = \frac{k_1}{x} $上，
∴$ 2 = \frac{k_1}{b} $，$ 1 = \frac{k_1}{b+2} $.联立得$ 2b = b+2 $，解得b=2，$ k_1 = 4 $.
（2）$ (2\sqrt{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}) $
解析：由（1）得A(2,2)，C(4,0)，E(4,1).AC斜率$ k_{AC} = \frac{0-2}{4-2} = -1 $，AE斜率$ k_{AE} = \frac{1-2}{4-2} = -\frac{1}{2} $.$ \tan\angle EAC = \left| \frac{k_{AC} - k_{AE}}{1 + k_{AC}k_{AE}} \right| = \left| \frac{-1 + \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{3} $.设P(t,$ \frac{4}{t} $)，则$ \tan\angle AOP = \frac{4/t}{t} = \frac{4}{t^2} = \frac{1}{3} $，解得$ t = 2\sqrt{3} $（t＞0），
∴P$ (2\sqrt{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}) $.
（3）$ -12 \leq k_2 ＜ -\frac{4}{3} $
解析：设P(m,$ \frac{4}{m} $)，OP顺时针旋转90°得OQ，Q在$ y = \frac{k_2}{x} $上.设Q(n,$ \frac{k_2}{n} $)，由旋转性质得OQ斜率为$ -\frac{m^2}{4} $，即$ \frac{k_2/n}{n} = -\frac{m^2}{4} $，$ k_2 = -\frac{m^2n^2}{4} $.在Rt△OPQ中，$ \tan\angle OPQ = \frac{OQ}{OP} = \frac{\sqrt{-k_2}}{2} $.由$ 30^\circ ＜ \angle OPQ \leq 60^\circ $得$ \frac{1}{\sqrt{3}} ＜ \frac{\sqrt{-k_2}}{2} \leq \sqrt{3} $，平方得$ \frac{4}{3} ＜ -k_2 \leq 12 $，即$ -12 \leq k_2 ＜ -\frac{4}{3} $.