《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

23.（本小题满分12分）
如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=8，AD和过点B的切线互相垂直，垂足为D.
（1）求证：∠BAD+∠C=90°.
（2）求线段AD的长.
（第23题）

答案： （1）证明：连接OB，
∵BD是⊙O切线，
∴OB⊥BD.
∵AD⊥BD，
∴AD//OB，
∴∠BAD=∠ABO.
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∴∠BAD=∠BAO.
∵∠C是弧AB所对圆周角，∠AOB是弧AB所对圆心角，
∴∠C=1/2∠AOB.
在△AOB中，∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°，即2∠BAD+∠AOB=180°，
∴∠BAD=90°-1/2∠AOB.
∴∠BAD+∠C=90°-1/2∠AOB +1/2∠AOB=90°.
（2）解：作OH⊥AB于H，
∵OA=OB=5，AB=8，
∴AH=HB=4.
在Rt△AOH中，OH=√(OA²-AH²)=√(25-16)=3.
设AD=x，
∵AD//OB，
∴△ABD∽△BOH，
∴AD/AH=OB/OH（或利用三角函数：cos∠BAD=AD/AB=cos∠ABO=BH/OB=4/5）.
∴AD=AB×4/5=8×4/5=32/5.
即AD的长为32/5.