《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

23.（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，EF交BC于点H，连接AG，CE.
（1）求证：△ABG≌△CBE.
（2）若AB=3，AG=BG=$\sqrt{3}$，求CH的长.
（第23题）

答案： （1）
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，
∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=∠GBE=90°，
∴∠ABG=∠CBE。在△ABG和△CBE中，$\begin{cases}AB=BC\\∠ABG=∠CBE\\BG=BE\end{cases}$，
∴△ABG≌△CBE（SAS）。
（2）在△ABG中，AG=BG=$\sqrt{3}$，AB=3，由余弦定理得cos∠ABG=$\frac{AB²+BG²-AG²}{2·AB·BG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ABG=30°，则∠GBH=60°。设BH=t，在Rt△BHE中，HE=BH·tan60°=$\sqrt{3}$t，又HE=BG=$\sqrt{3}$，
∴t=1，CH=BC-BH=3-1=2。