《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

25.（本小题满分13分）
在矩形ABCD中，AB＜BC，AB=6，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上.
（1）如图，当点E在边CD上时，
①若BC=10，求DF的长.
②若AF·DF=9，求DF的长.
（2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当$\frac{MF}{BC}=\frac{1}{2}$时，求DF的长.
（第25题）

答案： （1）①设DF=x，AF=10-x，BF=BC=10。在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{BF²-AB²}=\sqrt{100-36}=8$，DF=10-8=2。
②设DF=x，AF=y，xy=9，BF=BC=x+y。由AB²+AF²=BF²得36+y²=(x+y)²，36= x²+2xy=x²+18，x²=18，DF=x=3$\sqrt{2}$。
（2）当F在AD上时，设DF=x，BC=a=$\frac{x²+36}{2x}$，MF=$\frac{a}{2}$，由角平分线定理得DF=2；当F在AD延长线上时，解得DF=6，综上DF=2或6。