《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

26.（本小题满分15分）
已知抛物线y=a(x+2)(x-6)与x轴相交于点A，B，与y轴交于点C，且OC=3，设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N.
（1）求该抛物线对应的函数解析式和顶点M的坐标.
（2）如图，若P为抛物线对称轴上的一点，且在线段MN（含端点）上运动，Q(m,0)为x轴上一点，且PQ⊥PC，求m的最大值.
（3）在（2）的条件下，当m取最大值时，将线段CQ向上平移p个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求p的取值范围.
（第26题）

答案： （1）解：抛物线y=a(x+2)(x-6)与y轴交于C，x=0时y=-12a，OC=3，
∴| -12a |=3→a=±1/4.
∵抛物线开口向下（顶点在x轴上方），
∴a=-1/4.
解析式为y=-1/4(x+2)(x-6)=-1/4x²+x+3.
对称轴x=(-2+6)/2=2，顶点M(2,4).
（2）解：P(2,t)，t∈[0,4]，C(0,3)，Q(m,0).
PC=(-2,3-t)，PQ=(m-2,-t)，PQ⊥PC→PC·PQ=0→-2(m-2)-t(3-t)=0→m=(t²-3t+4)/2.
t∈[0,4]，m=t²/2 - 3t/2 +2，对称轴t=3/2，t=4时m最大，m=(16-12+4)/2=4.
（3）解：m=4时Q(4,0)，CQ：y=-3/4x+3，向上平移p个单位后y=-3/4x+3+p.
联立抛物线方程：-1/4x²+x+3=-3/4x+3+p→x²-7x+4p=0.
线段CQ在x∈[0,4]上，方程在[0,4]有两解，令f(x)=x²-7x+4p，
则{f
(0)=4p≥0，f
(4)=16-28+4p≥0，Δ=49-16p＞0，f(3.5)=12.25-24.5+4p＜0}→{p≥0，p≥3，p＜49/16，p＜12.25/4=3.0625}，
∴3≤p＜49/16.