《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

22.（本小题满分10分）
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于点E.
（1）求∠BED的度数.
（2）若AB=6，求图中涂色部分的面积.
（图：⊙O以AB为直径，A在左，B在右，D在AC上，DE切⊙O于D，交BC于E，阴影部分为扇形AOD）

答案： （1）连接OD,BD.
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°.
∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=30°，∠AOD=180°-2×30°=120°.
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE，∠ODE=90°.
∵∠C=60°，∠CDB=90°，
∴∠DBC=30°.
∵OB=OD，∠OBD=60°（∠ABD=90°-30°=60°），
∴△OBD为等边三角形，∠ODB=60°.
∴∠CDE=180°-∠ODA-∠ODB=180°-30°-60°=90°.
在△CDE中，∠CED=30°，
∴∠BED=180°-30°=150°？（修正：四边形ODEB中，∠ODE=90°，∠OBE=90°，∠BOD=60°，
∴∠BED=360°-90°-90°-60°=120°）.
正确过程：
∵∠AOD=120°，OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=60°.
∠ODE=90°，
∴∠EDB=∠ODE-∠ODB=30°.
∠DBC=30°，
∴∠BED=180°-30°-30°=120°.
（2）AB=6，OA=3.阴影部分为扇形AOD，∠AOD=120°.
面积$S=\frac{120°}{360°}×π×3²=3π$.