《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

25.（本小题满分13分）
如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是边BC上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F.
（1）当AE⊥BC，∠EAF=∠ABC时，
① 求证：AE=AF；
② 连接BD，EF，若EF/BD=2/5，求S△AEF/S菱形ABCD的值.
（2）当∠EAF=1/2∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连接AC，MN.若AB=4，AC=2，△AMN是等腰三角形，直接写出CE的长.
（第25题）

答案： （1）①证明：
∵菱形ABCD，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，AD//BC.
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，∠EAD=90°.
设∠ABC=α，则∠EAF=α，∠FAD=∠EAD-∠EAF=90°-α.
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-α，
∴∠FAD=∠BAE.
又∠ABE=∠ADF=α，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴AE=AF.
②解：设BD=5k，EF=2k，AE=AF=h，菱形边长AB=a.
由①知△AEF为等腰三角形，∠EAF=α，EF²=2h²(1-cosα)→EF=2h sin(α/2).
菱形中BD=2a sin(α/2)，
∴EF/BD=2h sin(α/2)/(2a sin(α/2))=h/a=2/5→h=2a/5.
菱形面积=BC×AE=a×h=2a²/5.
△AEF面积=1/2 h² sinα，
∵h=a sinα=2a/5→sinα=2/5，
∴S△AEF=1/2×(4a²/25)×(2/5)=4a²/125.
∴S△AEF/S菱形ABCD=4a²/125 ÷ 2a²/5=2/25.
（2）2或2√3-2