《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

25.（本小题满分13分）
如图，“爱心”图案由抛物线$y=-x^2+m$的一部分及其关于直线$y=-x$的对称图形组成，E，F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，A，B，C，D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为$(\sqrt{6},0)$.
（1）求m的值及AC的长.
（2）求EF的长.
（3）若P是该图案上的动点，点P，Q关于直线$y=-x$对称，连接PQ，求PQ长的最大值及此时点Q的坐标.
（第25题）

答案： （1）m=6，AC=6+\sqrt{6}
（2）$5\sqrt{2}$
（3）PQ最大值为$\frac{25\sqrt{2}}{4}$，Q$(-\frac{23}{4},-\frac{1}{2})$
解析：（1）D$(\sqrt{6},0)$是原抛物线与x轴交点，代入$y=-x^2+m$得$0=-(\sqrt{6})^2+m$，m=6。A(0,6)，对称抛物线与y轴交点C(0,-\sqrt{6})，AC=6-(-\sqrt{6})=6+\sqrt{6}。
（2）对称轴为$y=-x$，联立$y=-x$与$y=-x^2+6$得$x^2-x-6=0$，解得$x=3$或$x=-2$，E(-2,2)，F(3,-3)，EF=$\sqrt{(3+2)^2+(-3-2)^2}=5\sqrt{2}$。
（3）设P$(x,-x^2+6)$，Q$(-y,-x)$，PQ=$\sqrt{2}|x+y|=\sqrt{2}|-x^2+x+6|$，当$x=\frac{1}{2}$时，最大值为$\frac{25\sqrt{2}}{4}$，Q$(-\frac{23}{4},-\frac{1}{2})$。