《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

22.（本小题满分 10 分）
（1）如图 1，$CA=CD$，$\angle1=\angle2$，$BC=EC$，求证：$\angle A=\angle D$.
（2）如图 2，按以下步骤画图：①以线段 AB 的中点 O 为圆心，AO 的长为半径画半圆；②分别以点 A,B 为圆心，AO 的长为半径画弧，分别交半圆于点 C,D；③连接 OC,OD,CD.若$AB=4$，求$\triangle COD$的面积.

答案： （1）证明：$\because \angle1=\angle2$，$\therefore \angle1+\angle ACE=\angle2+\angle ACE$，即$\angle ACB=\angle DCE$。在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，$\left\{\begin{array}{l} CA=CD \\ \angle ACB=\angle DCE \\ BC=EC \end{array}\right.$，$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEC(SAS)$，$\therefore \angle A=\angle D$。
（2）$\sqrt{3}$
解析：$AB=4$，O 为 AB 中点，$\therefore AO=OB=2$，半圆半径$OC=OD=2$。以 A,B 为圆心，AO=2 为半径画弧，$\therefore AC=AO=2$，$\triangle AOC$为等边三角形，$\angle AOC=60^\circ$，同理$\angle BOD=60^\circ$。$\angle COD=180^\circ - 60^\circ - 60^\circ=60^\circ$，$\triangle COD$为等边三角形，面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$。