《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

26.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+2mx-4m+3与y轴交于点A，且经过点B，已知点B的横坐标为2m+1．
（1）当m=2时，抛物线的对称轴为______，顶点为______．
（2）记抛物线在点A，B之间（包括点A，B）的部分为图形K．
① 当m＞0时，若图形K与x轴有且只有一个交点，求m的取值范围．
② 当m＜0时，记图形K上点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于m的函数解析式．

答案： （1）x=2；(2,-1)
（2）① 解：A(0,-4m+3)，B(2m+1,-6m+2)，抛物线开口向下，对称轴x=m，
当A≥0且B≤0时：{-4m+3≥0,-6m+2≤0}，解得1/3≤m≤3/4；
当顶点在K内且顶点在x轴上时，m²-4m+3=0，m=1或3，均符合，
∴m的取值范围是1/3≤m≤3/4或m=1或m=3．
② 解：当m≤-1时，2m+1≤m，K上y随x增大而减小，
h=(-4m+3)-(-6m+2)=2m+1；
当-1＜m＜0时，顶点在K内，最大值为m²-4m+3，最小值为-6m+2，
h=(m²-4m+3)-(-6m+2)=m²+2m+1=(m+1)²，
∴h={2m+1(m≤-1),(m+1)²(-1＜m＜0)}．