《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

5. 如图，直线$AB// CD$，点$E$在直线$CD$上，$EG$平分$\angle FED$．若$\angle1=62^\circ$，则$\angle2$为
A. $38^\circ$
B. $58^\circ$
C. $59^\circ$
D. $69^\circ$

答案： C
解析：$\because AB// CD$，$\therefore\angle2=\angle GED$（内错角相等）。
$\because\angle1=62^\circ$，$\angle1+\angle FED=180^\circ$（邻补角），$\therefore\angle FED=180^\circ-62^\circ=118^\circ$。
$\because EG$平分$\angle FED$，$\therefore\angle GED=\frac{1}{2}\angle FED=\frac{1}{2}×118^\circ=59^\circ$，$\therefore\angle2=59^\circ$，故选C。

6. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y=-2x+4$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，与直线$y=kx$交于点$C(4,n)$，则$\tan\angle OCB$的值为
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{7}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{3}{8}$

答案： A
解析：将$x=4$代入$y=-2x+4$，得$n=-2×4+4=-4$，$\therefore C(4,-4)$。
直线$y=-2x+4$与$y$轴交于$B$，令$x=0$，$y=4$，$\therefore B(0,4)$。
直线$BC$的方程：设$y=mx+b$，将$B(0,4)$，$C(4,-4)$代入得$\begin{cases}b=4\\4m+4=-4\end{cases}$，解得$m=-2$，$\therefore BC:y=-2x+4$。
点$O(0,0)$到直线$BC$的距离$d=\frac{\vert0+0-4\vert}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$。
$OC=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}$，在$Rt\triangle ODC$中（$D$为垂足），$CD=\sqrt{OC^2-d^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-(\frac{4}{\sqrt{5}})^2}=\frac{12}{\sqrt{5}}$。
$\tan\angle OCB=\frac{d}{CD}=\frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{12}{\sqrt{5}}}=\frac{1}{3}$，故选A。

7. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为$2\ cm$的半圆，则该圆锥的高为
A. $2\ cm$
B. $\sqrt{3}\ cm$
C. $\sqrt{2}\ cm$
D. $1\ cm$

答案： B
解析：圆锥侧面展开图半圆的半径为圆锥母线长$l=2\ cm$，半圆的弧长为$\pi l=2\pi r$（$r$为底面半径），即$\pi×2=2\pi r$，解得$r=1\ cm$。
圆锥的高$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ cm$，故选B。

8. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-a\gt0\\7-2x\gt5\end{cases}$有且只有$3$个整数解，则$a$的取值范围是
A. $-4\leq a\lt-2$
B. $-3\lt a\leq-2$
C. $-3\leq a\leq-2$
D. $-3\leq a\lt-2$

答案： D
解析：解不等式组$\begin{cases}x\gt a\\x\lt1\end{cases}$，解集为$a\lt x\lt1$。
整数解为$-2,-1,0$（共3个），$\therefore-3\leq a\lt-2$，故选D。