《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

25.（本小题满分12分）
【问题情境】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D，将△ABC和△DFE按如图2所示的方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）.当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由.
（图1：矩形沿对角线剪开为△ABC和△DFE；图2：B与F重合，DE延长交AC于G）
【数学思考】
（1）请你解答老师提出的问题.
【深入探究】
（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题再解答.
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE，交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE，垂足为H.若BC=9，AC=12，请直接写出AH的长.

答案： （1）四边形BCGE是矩形.
理由：
∵△ABC≌△DFE，
∴∠DEF=∠ACB=90°，BC=EF.
∠ABE=∠A，
∴BE//AC（内错角相等）.
∠BEG=∠DEF=90°，∠ACB=90°，
∴∠BEG=∠ACB=∠CBE=90°（BE//AC，同旁内角互补）.
∴四边形BCGE是矩形.
（2）①AM=1/2 BE.
证明：设∠BAC=∠ABE=α，AM⊥BE，∠AMB=90°.
∠ABC=90°-α，∠CBE=90°-2α.
△ABM∽△BCE，AM/BC=AB/BE，结合全等性质可得AM=1/2 BE.
②AH=36/5.
（过程：∠CBE=∠BAC=α，tanα=3/4，△AHE∽△BCE，AH= (AC·BC)/AB= (12×9)/15=36/5）.