《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

26.（本小题满分15分）
如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$A,B$，且自变量$x$的部分取值与对应函数值$y$如下表：
| $x$ | … | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | … |
（1）求二次函数$y=ax^2+bx+c$的解析式.
（2）若将线段$AB$向下平移，得到的线段$A'B'$与二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象交于点$P,Q$（点$P$在点$Q$的左边），$R$为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象上的一点，当点$Q$的横坐标为$m$，点$R$的横坐标为$m+\sqrt{2}$时，求$\tan\angle RPQ$的值.
（3）若将线段$AB$先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数$y=\frac{1}{t}(ax^2+bx+c)$的图象只有一个交点，其中$t$为常数，求$t$的取值范围.

答案： （1）由表格知二次函数与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$，设交点式$y=a(x+1)(x-3)$.
将$(0,-3)$代入得：$-3=a(0+1)(0-3)$，解得$a=1$.
故解析式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$.
（2）$AB$为$x$轴上线段，向下平移后$A'B'$方程为$y=-k(k＞0)$.
联立$y=x^2-2x-3$与$y=-k$得$x^2-2x-3+k=0$，设两根为$x_P,x_Q$，由韦达定理$x_P+x_Q=2$.
已知$x_Q=m$，则$x_P=2-m$，故$P(2-m,-k)$，$Q(m,-k)$.
点$R$横坐标为$m+\sqrt{2}$，代入抛物线得$y_R=(m+\sqrt{2})^2-2(m+\sqrt{2})-3$.
化简$y_R=m^2+2\sqrt{2}m+2-2m-2\sqrt{2}-3=m^2-2m-1+2\sqrt{2}(m-1)$.
又$Q$在$A'B'$上，$-k=m^2-2m-3$，即$k=-m^2+2m+3$.
则$y_R+k=(m^2-2m-1+2\sqrt{2}(m-1))+(-m^2+2m+3)=2+2\sqrt{2}(m-1)$.
$PR$水平距离$d=(m+\sqrt{2})-(2-m)=2(m-1)+\sqrt{2}$，垂直距离$h=y_R+k=2\sqrt{2}(m-1)+2=\sqrt{2}d$.
故$\tan\angle RPQ=\frac{h}{d}=\sqrt{2}$.
（3）$AB$向上平移3个单位再向右平移1个单位后，线段方程为$y=3$，$x\in[0,4]$.
联立$3=\frac{1}{t}(x^2-2x-3)$得$x^2-2x-3t-3=0$，令$f(x)=x^2-2x-3t-3$.
①$\Delta=0$时，$4+4(3t+3)=0$，$t=-\frac{4}{3}$，此时$x=1\in[0,4]$.
②$\Delta＞0$时，$f(0)f(4)\leq0$，$f(0)=-3t-3$，$f(4)=5-3t$.
$(-3t-3)(5-3t)\leq0$解得$-1＜t\leq\frac{5}{3}$（$t=-1$时两根为0和2，均在区间内，舍去）.
综上，$t=-\frac{4}{3}$或$-1＜t\leq\frac{5}{3}$.