《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

9. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-3,y_1)$和$(5,y_2)$，顶点坐标为$(m,n)$．若$y_1\gt y_2\gt n$，则$m$的取值范围是
A. $m\lt-3$
B. $m\lt1$
C. $m\gt1$且$m\neq5$
D. $m\gt5$

答案： C
解析：$\because y_2\gt n$，抛物线开口向上（顶点为最小值）。$y_1\gt y_2$，则点$(-3,y_1)$到对称轴$x=m$的距离大于点$(5,y_2)$到对称轴的距离，即$\vert m+3\vert\gt\vert m-5\vert$。
平方得$(m+3)^2\gt(m-5)^2$，解得$m\gt1$。又$y_2\gt n$，$\therefore m\neq5$，故选C。

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，$BC=2\sqrt{3}$，$AB$的垂直平分线与$AC$，$AB$分别交于点$E$，$D$，$F$是边$BC$上一个动点（点$F$不与点$C$重合），连接$DF$，过点$D$作$DG\perp DF$，$DG$交$AC$于点$G$．设$BF$的长为$x$，$\triangle CGF$的面积为$y$，则$y$与$x$的函数图象大致为

答案： A
解析：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=30^\circ$，$BC=2\sqrt{3}$，$\therefore AB=4\sqrt{3}$，$AC=6$，$D$为$AB$中点，$D(3,\sqrt{3})$。
设$F(0,2\sqrt{3}-x)$，$G(g,0)$，由$DG\perp DF$得$g=2+\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
$\triangle CGF$面积$y=\frac{1}{2}× CG× CF=\frac{1}{2}\left(2+\frac{\sqrt{3}}{3}x\right)(2\sqrt{3}-x)=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}x^2$，图象为开口向下的抛物线，故选A。

11. 已知$\alpha=35^\circ$，则$\alpha$的余角为______$^\circ$．

答案： 55
解析：余角为$90^\circ-35^\circ=55^\circ$。

12. 分解因式：$ab^3-4ab=$______．

答案： $ab(b+2)(b-2)$
解析：$ab^3-4ab=ab(b^2-4)=ab(b+2)(b-2)$。

13. 函数$y=\frac{\sqrt{x+1}}{x}$中，自变量$x$的取值范围是______．

答案： $x\geq-1$且$x\neq0$
解析：$\begin{cases}x+1\geq0\\x\neq0\end{cases}$，解得$x\geq-1$且$x\neq0$。

14. 如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$为$AD$的中点，连接$OE$．若$AC=8\ cm$，$BD=6\ cm$，则线段$OE$的长度是______$cm$．

答案： 2.5
解析：菱形对角线互相垂直平分，$AO=4\ cm$，$DO=3\ cm$，$AD=\sqrt{AO^2+DO^2}=5\ cm$。$E$为$AD$中点，$OE=\frac{1}{2}AD=2.5\ cm$。