《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

21.（本小题满分10分）
（1）如图1，AB=DC，AC=BD，求证：∠BAC=∠CDB．
（2）如图2，∠MPN=90°，PM，PN分别与⊙O相切于点B，C．按下列步骤作图：① 分别以点M和点O为圆心，大于1/2MO的长为半径作弧，两弧相交于点E，F；② 作直线EF交MO于点D；③ 以点D为圆心，DO为半径作半圆D，交⊙O于点A（点A与点B不重合）；④ 连接MA并延长交PN于点Q．若MB=6，⊙O的半径为2，求MQ的长．

答案： （1）证明：连接BC，在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠BAC=∠CDB．
（2）解：连接OB，OC，
∵PM，PN是⊙O的切线，
∴OB⊥PM，OC⊥PN，
∵∠MPN=90°，OB=OC=2，
∴四边形OBPC是矩形，
∴BP=OC=2，PC=OB=2，
∵MB=6，
∴MP=MB+BP=6+2=8．
以P为原点，PM为x轴，PN为y轴建立坐标系，
则P(0,0)，M(-8,0)，B(-2,0)，O(-2,2)．
∵EF是MO的中垂线，
∴D是MO中点，
M(-8,0)，O(-2,2)，
∴D((-8-2)/2,(0+2)/2)=(-5,1)，
DO=√[(-2+5)²+(2-1)²]=√10，半圆D方程：(x+5)²+(y-1)²=10，
⊙O方程：(x+2)²+(y-2)²=4，联立解得A(-16/5,18/5)．
直线MA的斜率k=(18/5-0)/(-16/5+8)=3/4，方程为y=3/4(x+8)，
令x=0（PN为y轴），得y=6，即Q(0,6)，
∴MQ=√[(-8-0)²+(0-6)²]=10．