《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

25.（本小题满分13分）
【问题情境】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．在三角尺EDF中，∠EDF=90°，将三角尺的直角顶点D放在Rt△ABC的斜边BC的中点处，并将三角尺绕点D旋转，三角尺的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
【猜想证明】
（1）如图1，在三角尺旋转过程中，当M为AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由．
【问题解决】
（2）如图2，在三角尺旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长．
（3）如图3，在三角尺旋转过程中，当AM=AN时，求线段AN的长．

答案： （1）矩形，理由：
∵D是BC中点，M是AB中点，
∴DM//AC，DM=1/2AC=4，同理DN//AB，DN=1/2AB=3，
∴四边形AMDN是平行四边形，又∠A=90°，
∴是矩形．
（2）解：∠B=∠MDB，
∴MB=MD，设MB=x，BD=5，
cosB=3/5=BH/MB，BH=3x/5，DH=5-3x/5，
在Rt△MHD中，x²=(4x/5)²+(5-3x/5)²，解得x=25/6，
AM=6-25/6=11/6，由△AMD∽△CND得CN=AM=11/6．
（3）解：设AM=AN=t，M(t,0)，N(0,t)，D(3,4)，
向量DM=(t-3,-4)，DN=(-3,t-4)，
DM·DN=-3(t-3)-4(t-4)=0，解得t=25/7，
∴AN=25/7．