《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

24.（本小题满分 12分）
已知函数$y=(x - a)^2+(x - b)^2$（$a,b$为常数）.设当自变量$x$取$x_0$时，$y$取得最小值.
（1）若$a=-1$，$b=3$，求$x_0$的值.
（2）在平面直角坐标系$xOy$中，点$P(a,b)$在双曲线$y=-\frac{2}{x}$上，且$x_0=\frac{1}{2}$.求点$P$到$y$轴的距离.
（3）当$a^2 - 2a - 2b + 3=0$，且$1 \leq x_0 ＜ 3$时，分析并确定整数$a$的个数.

答案： （1）$x_0=1$
解析：$y=2x^2 - 2(a + b)x + a^2 + b^2$，对称轴$x_0=\frac{a + b}{2}$。代入$a=-1$，$b=3$，$x_0=\frac{-1 + 3}{2}=1$。
（2）2 或 1
解析：$x_0=\frac{a + b}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow a + b=1$，又$b=-\frac{2}{a}$，$\therefore a - \frac{2}{a}=1\Rightarrow a^2 - a - 2=0$，解得$a=2$或$a=-1$，到$y$轴距离$|a|=2$或$1$。
（3）4 个
解析：由$a^2 - 2a - 2b + 3=0$得$b=\frac{a^2 - 2a + 3}{2}$，$x_0=\frac{a + b}{2}=\frac{a^2 + 3}{4}$。由$1 \leq \frac{a^2 + 3}{4} ＜ 3$得$1 \leq a^2 ＜ 9$，整数$a=-2,-1,1,2$，共 4 个。