《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

25.（本小题满分 13 分）
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=6$，$BC=8$，D 为边 AC 上的一个动点（不与点 A,C 重合），作点 C 关于直线 BD 的对称点 E.
（1）小明给出了下面框图中的作法：
如图 1，分别以点 B,D 为圆心，CB,CD 的长为半径画弧，两弧交于点 E.所以，E 就是所求作的点.
请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由.
（2）当点 E 在边 AB 上时，请用无刻度的直尺和圆规在图 2 中作出点 D,E（不写作法，保留作图痕迹），连接 DE，并求出 DE 的长.
（3）连接 AE,CE，当$\triangle ACE$为直角三角形时，求$\angle BCE$的正切值.

答案： （1）不符合。理由：小明的作法仅保证$EB=CB$，$ED=CD$，但不能确保 BD 垂直平分 CE，对称点需满足 BD 垂直平分 CE，故作法错误。
（2）作图略，$DE=\frac{12}{5}$
解析：设$CD=DE=x$，$AD=6 - x$，$AB=10$，$BE=BC=8$，$AE=AB - BE=2$。在$\triangle ADE$中，$(6 - x)^2 + x^2=2^2$，解得$x=\frac{12}{5}$，即$DE=\frac{12}{5}$。
（3）$\frac{1}{2}$或$\frac{2}{3}$
解析：分两种情况：①$\angle AEC=90^\circ$，$\tan\angle BCE=\frac{1}{2}$；②$\angle EAC=90^\circ$，$\tan\angle BCE=\frac{2}{3}$（具体过程略）。