《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

23.（本小题满分12分）
已知A是⊙O外一点，B是线段OA的中点.
（1）如图，过点A作⊙O的一条切线，切点为C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
（2）在（1）的条件下，若AC=$\sqrt{3}$AB，求证：点B在⊙O上.
（第23题）

答案： （1）作图略（以OA为直径作圆交⊙O于C，连接AC）。
（2）证明：设OA=2x，B为OA中点，则AB=OB=x，AC=$\sqrt{3}x$。
∵AC是切线，
∴OC⊥AC。在Rt△OAC中，$OC^2+AC^2=OA^2$，设OC=r，则$r^2+(\sqrt{3}x)^2=(2x)^2$，解得$r=x$。
∵OB=x=r，
∴点B在⊙O上。