《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

22.（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D.
（1）求图中涂色部分的面积.
（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP.当CP的长最大时，求BP的长.
（第22题）

答案： （1）
∵AB²+AC²=3²+4²=5²=BC²，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°。S△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6。⊙A与BC相切于D，AD⊥BC，AD=$\frac{AB·AC}{BC}=\frac{12}{5}$。由$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$得BD=$\frac{9}{5}$，DC=BC-BD=$\frac{16}{5}$。涂色部分面积=S△CDB=$\frac{1}{2}×DC×AD=\frac{1}{2}×\frac{16}{5}×\frac{12}{5}=\frac{96}{25}$。
（2）⊙A半径r=AD=$\frac{12}{5}$，CP最大时P在CA延长线上，此时P(0,-$\frac{12}{5}$)（以A为原点，AB为x轴，AC为y轴）。B(3,0)，BP=$\sqrt{(3-0)^2+(0+\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9+\frac{144}{25}}=\frac{3\sqrt{41}}{5}$。