《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle A = 30^\circ$，$BC = 2$，$D$，$E$是边$AB$上的两个动点，$F$是边$AC$上的一个动点，连接$CD$，$EF$.若$DE = \sqrt{3}$，则$CD + EF$的最小值为
A. $\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$
B. $3 - \frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $1 + \sqrt{3}$
D. 3

答案： D
解析：$\angle A = 30^\circ$，$BC = 2$，则$AB = 4$，$AC = 2\sqrt{3}$。
作$E$关于$AC$的对称点$E'$，$EF = E'F$，$CD + EF = CD + E'F$。
当$C$，$D$，$E'$，$F$共线且$CE' \perp AB$时最小，此时$CD + EF = CE' = 3$，故选D。

11. 若$\alpha = 35^\circ$，则$\alpha$的补角为______°.

答案： 145
解析：补角为$180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$。

12. 若$4a^2 - b^2 = 12$，$2a - b = 4$，则$2a + b = $______.

答案： 3
解析：$4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b) = 12$，$2a + b = 12 ÷ 4 = 3$。

13. 已知直线$y = kx(k ＞ 0)$与双曲线$y = \frac{9}{x}$相交于点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则$5x_1y_2 - 8x_2y_1$的值是______.

答案： 27
解析：双曲线与直线关于原点对称，$x_2 = -x_1$，$y_2 = -y_1$，$x_1y_1 = 9$。
原式$= 5x_1(-y_1) - 8(-x_1)y_1 = -5x_1y_1 + 8x_1y_1 = 3x_1y_1 = 27$。

14. 已知$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$\triangle OAB$是等边三角形.若$AB = 3$，则$□ ABCD$的面积为______.

答案： $9\sqrt{3}$
解析：$\triangle OAB$等边，$OA = OB = 3$，$AC = 6$，$BD = 6$，$□ ABCD$为矩形，$\angle ABC = 60^\circ$，$BC = 3\sqrt{3}$，面积$AB × BC = 3 × 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$。

15. 已知一组数据3，4，6，$x$，9的平均数是6，那么这组数据的方差为______.

答案： $\frac{26}{5}$
解析：$\frac{3 + 4 + 6 + x + 9}{5} = 6$，$x = 8$。方差$\frac{(3-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (9-6)^2}{5} = \frac{9 + 4 + 0 + 4 + 9}{5} = \frac{26}{5}$。

16. 如图，在矩形$ABCD$中，点$E$在边$CD$上，$AC$与$BE$相交于点$F$，过点$F$作$FG \perp BC$，垂足为$G$.若$\frac{DE}{EC} = \frac{2}{3}$，则$\frac{FG}{AB}$的值为______.

答案： $\frac{3}{8}$
解析：设$DE = 2k$，$EC = 3k$，$AB = 5k$。
$\triangle AFB \sim \triangle CFE$，$\frac{CF}{AF} = \frac{EC}{AB} = \frac{3}{5}$，$\frac{CF}{AC} = \frac{3}{8}$。
$\because FG // AB$，$\triangle CFG \sim \triangle CAB$，$\frac{FG}{AB} = \frac{CF}{AC} = \frac{3}{8}$。