《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

17. 在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A(3,0)$，$B(0,3)$，直线$y = kx + b(k, b$为常数，且$k ＞ 0)$经过点$(1,0)$，并把$\triangle AOB$分成两部分，其中靠近原点部分的面积为$\frac{15}{4}$，则$k$的值为______.

答案： $\frac{3}{5}$
解析：直线$y = k(x - 1)$与$AB: x + y = 3$交于$D\left(\frac{k + 3}{k + 1}, \frac{2k}{k + 1}\right)$。
靠近原点面积$S = \frac{1}{2} × 1 × 3 + \frac{1}{2} × 1 × \frac{2k}{k + 1} = \frac{15}{4}$，解得$k = \frac{3}{5}$。

18. 已知$m \neq 2$，当$x = -m$和$x = m - 4$时，多项式$ax^2 + bx + 4a + 1$的值相等.若当$-1 ＜ x ＜ 2$时，存在$x$的值，使多项式$ax^2 + bx + 4a + 1$的值为3，则$a$的取值范围是______.

答案： $a ＜ 0$或$\frac{1}{8} ＜ a ＜ 2$
解析：对称轴$x = -2$，$b = 4a$，多项式$= a(x + 2)^2 + 1$。
$a(x + 2)^2 = 2$，$(x + 2)^2 \in (1, 16)$，$a ＞ 0$时$a \in \left(\frac{1}{8}, 2\right)$；$a ＜ 0$时恒成立，综上$a ＜ 0$或$\frac{1}{8} ＜ a ＜ 2$。

19. (1) 先化简，再求值：$\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} - \frac{1}{x}\right) ÷ \frac{1}{x - 1}$，其中$x = -1$.

答案： -2
解析：原式$= \left[\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} - \frac{1}{x}\right] \cdot (x - 1) = \left(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)(x - 1) = \frac{x(x + 1) - (x - 1)}{x(x - 1)} \cdot (x - 1) = \frac{x^2 + 1}{x}$。
代入$x = -1$，得$\frac{1 + 1}{-1} = -2$。