《2025年全优夺冠中考模拟卷数学》

23.（本小题满分10分）
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形．
（2）若CB=CD，求四边形BDFC的面积．

答案： （1）证明：
∵∠A=∠ABC=90°，
∴AD//BC，
∴∠FDE=∠BCE，∠DFE=∠CBE，
∵E是CD中点，
∴DE=CE，
∴△DEF≌△CEB（AAS），
∴DF=BC，
又
∵DF//BC，
∴四边形BDFC是平行四边形．
（2）解：
∵CB=CD=3，过D作DG⊥BC于G，
则BG=AD=1，GC=3-1=2，设AB=DG=x，
在Rt△DGC中，x²+2²=3²，解得x=√5，
∴平行四边形BDFC的面积=BC×AB=3×√5=3√5．