《2025年1课3练江苏人民出版社七年级数学下册人教版》

11 若$(a - 2)x^{|a| - 1}+y = 1$是关于$x,y$的二元一次方程，则$a =$________．

答案： -2 [解析]$∵(a - 2)x^{|a| - 1}+y = 1$是关于$x,y$的二元一次方程，
$∴\begin{cases}|a| - 1 = 1\\a - 2\neq0\end{cases}$，解得$a = - 2$。

12 已知$\begin{cases}x = 2\\y = -1\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$2kx + y = 7$的解，则$k$的值是________．

答案： 2

13 传统文化《孙子算经》 (2024·吉林二模)《孙子算经》载了一道数学问题，其部分译文为：现有甲、乙两人，所带钱数不详，如果甲得到乙的钱数的一半，甲就有了48钱，若乙得到甲钱数的$\frac{2}{3}$，则乙的钱数也为48. 设甲、乙各带了$x$钱，$y$钱，则可列二元一次方程组为________．

答案： $\begin{cases}x+\frac{1}{2}y = 48\\\frac{2}{3}x + y = 48\end{cases}$

14 (2024·浙江嘉兴期中)已知方程$(m - 2)x^{|m| - 1}+(n + 3)y^{n^{2}-8}=6$是关于$x,y$的二元一次方程.
(1)求$m,n$的值；
(2)求$x = \frac{1}{2}$时，$y$的值.

答案：
(1)$∵$已知方程$(m - 2)x^{|m| - 1}+(n + 3)y^{n^{2}-8}=6$是关于$x,y$的二元一次方程，
$∴\begin{cases}m - 2\neq0\\n + 3\neq0\\|m| - 1 = 1\\n^{2}-8 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = - 2\\n = 3\end{cases}$。
(2)$∵$当$m = - 2,n = 3$时，二元一次方程可化为$-4x + 6y = 6$，
$∴$当$x=\frac{1}{2}$时，有$-4\times\frac{1}{2}+6y = 6$，解得$y=\frac{4}{3}$。
方法诠释 本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是能够将定义所限制的条件“翻译”成对应的数学式子。

15 已知关于$x,y$的二元一次方程$kx + y = 3 - k$，$k$是不为零的常数.
(1)如果$\begin{cases}x = 2\\y = -3\end{cases}$是该方程的一个解，求$k$的值；
(2)当$k$每取一个不为零的值时，都可以得到一个方程，而这些方程都有一组公共的解，试求出这个公共解.

答案：
(1)把$\begin{cases}x = 2\\y = - 3\end{cases}$代入二元一次方程$kx + y = 3 - k$中，得$2k - 3 = 3 - k$，解得$k = 2$。
(2)原方程可化为$k(x + 1)+y = 3$，
当$x + 1 = 0$时，无论$k$取任何一个不为零的值时，都有$y = 3$，此时$x = - 1$，即这个公共解是$\begin{cases}x = - 1\\y = 3\end{cases}$。

16 甲、乙两同学同时解方程组$\begin{cases}ax + y = 3\\2x - by = 1\end{cases}$，甲看错了$a$，求得的解为$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$；乙看错了$b$，求得的解为$\begin{cases}x = -1\\y = 3\end{cases}$. 求$a,b$的值.

答案： $a = 0,b = - 1$。

17 新情境 拼图 小明用8个一样大的长方形(长$a$ cm，宽$b$ cm)拼图，拼出了如图所示的甲、乙两种图案：图案甲是一个正方形，且中间留下了一个边长是2 cm的正方形小洞，图案乙是一个大的长方形. 根据题意，可列出关于$a,b$的二元一次方程组为________.

答案： $\begin{cases}2b = a + 2\\3a = 5b\end{cases}$